қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Жалпы саны 60 болаты эльфтар мен троллдар дөңгелек стол басында отыр. Троллдар әрқашан өтірік айтады, ал эльфтар "қателескен" жағдайдан басқа жағдайда тек шындықты айтады. Әрбір отырған қонақ эльф пен тролл арасында отырғанын айтты және дәл екі эльф қателесті. Стол басында қанша тролл отыр?
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №2. $ABCD$ шаршысына сырттай сызылған шеңбердің $CD$ кіші доғасынан кез келген $M$ нүктесі алынған. $AM$ түзуі $BD$ және $CD$ түзулерін сәйкесінше $P$ және $R$ нүктелерінде қияды. $BM$ түзуі $AC$ және $DC$ түзулерін сәйкесінше $Q$ және $S$ нүктелерінде қияды. $PS$ және $QR$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Нақты сандар функциясы [0,1] аралығында анықталған және кез келген $n$ натурал саны үшін $f(1/n)=(-1)^n$ шартын қанағаттандырады. $f$ функциясын екі өспелі функциялардың айырымы түрінде жазуға болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $n$ — натурал сан, $p$ — жай сан және $(n+1)^p-n^p$ саны $q$ натурал санына қалдықсыз бөлінеді. $(q-1)$ саны $p$ санына қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $*$ — келесі шарттарды қанағаттандыратын нөлдік емес нақты сандарда берілген операция:
1) $a * a = 1$ кез келген $a \neq 0$ үшін;
2) $a * (b * c) = (a * b) \cdot c$ ($a * b$ оң жағынан $c$–ға қарапайым тәсілмен көбейтіледі) кез келген $a\neq 0$, $b\neq 0$, $c\neq 0$ үшін.
$x*36 = 216$ теңдеуін шешіңіздер.
комментарий/решение(1)
1) $a * a = 1$ кез келген $a \neq 0$ үшін;
2) $a * (b * c) = (a * b) \cdot c$ ($a * b$ оң жағынан $c$–ға қарапайым тәсілмен көбейтіледі) кез келген $a\neq 0$, $b\neq 0$, $c\neq 0$ үшін.
$x*36 = 216$ теңдеуін шешіңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышы берілген. $r$ — үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы,$r_a$ — центрі $BC$ қабырғасында жатып $AB$ және $AC$ қабырғаларын жанайтын жарты шеңбер радиусы болсын. $r_b$ және $r_c$ сандары дәл осылай анықталады. $2/r=1/r_a+1/r_b+1/r_c$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Қалжыңбастау математик беттері
2-ден 400-ге дейін нөмірленген және төмендегідей оқу шарт бар кітап жазды: бірінші кітаптың соңғы бетін табамыз(400-ші) және > 1-ден 400-ге дейін ортақ бөлгіштері бар беттерді оқу керек(өсу ретімен). Осыдан кейін оқылмаған бетті алып осы операцияны қайталап > 1-ден 399-ге дейін ортақ бөлгіштері бар беттерді оқу керек және т.с.с. Осылайша келесі беттері оқылды: 2, 4, 5, $\ldots,$, 400, 3, 7, 9, $\ldots,$, 399, $\ldots$. Ең соңғы қай бет оқылады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $0 < a_1 < \dots < a_n$ сандары берілген. Келесі теңсіздіктің шешімі бірнеше қиылыспайтын аралықтың бірігуі болады: $$
\dfrac{{a_1 }}
{{x + a_1 }} + \dfrac{{a_2 }}
{{x + a_2 }} + \dots + \dfrac{{a_n }}
{{x + a_n }} \geq 1.
$$
Сол шешмімнің ұзындықтарының қосындысын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)