Областная олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Чудаковатый математик написал книгу, страницы которой пронумерованы от 2 до 400 и читать которую следует так: сначала находим последнюю страницу (400-ю) и читаем страницы (по возрастанию) с номерами, которые имеют общие делители > 1 с 400. Затем берем последнюю из непрочитанных страниц и повторяем то же самое, то есть уже читаем страницы с номерами, имеющими общий делитель >1 с 399. Далее процесс повторяется с последней непрочитанной страницей и так далее. Итак, последовательно нами будут прочитаны страницы с номерами: 2, 4, 5, $\dots$, 400, 3, 7, 9, $\dots$, 399, $\dots$. Какая страница будет прочитана последней?

Комментарий/решение

Ответ: 201.

Явно числа от 2 до 200 не будут последним. Ведь они являются множителями чисел от 201 до 400. Вспомним, что числа после 200 идут от 400 до 201. Поэтому то 201 будет последним