XVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2017 год


Задача №1.  На бесконечном белом клетчатом листе выделен квадрат $Q$ размера $12\times 12$. Петя хочет окрасить некоторые (не обязательно все!) клетки квадрата семью цветами радуги (каждую клетку --- только одним цветом) так, чтобы никакие два из 288 трёхклеточных прямоугольников, центры которых лежат в $Q$, не были раскрашены одинаково. Удастся ли ему это сделать?
(Два трёхклеточных прямоугольника раскрашены одинаково, если один из них можно сдвинуть и, возможно, повернуть так, чтобы каждая его клетка наложилась на клетку второго прямоугольника, имеющую тот же цвет.) ( И. Богданов )
комментарий/решение
Задача №2.  Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega $. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. На отрезках $AO$ и $DO$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно. Прямая $EF$ пересекает $\omega $ в точках ${{E}_{1}}$ и ${{F}_{1}}$. Описанные окружности треугольников $ADE$ и $BCF$ пересекают отрезок $EF$ в точках ${{E}_{2}}$ и ${{F}_{2}}$ соответственно (считайте, что все точки $E$, $F$, $E_1$, $F_1$, $E_2$ и $F_2$ различны). Докажите, что ${{E}_{1}}{{E}_{2}}={{F}_{1}}{{F}_{2}}$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите, что среди любых 42 чисел из промежутка $[1,{{10}^{6}}]$ можно выбрать четыре числа так, что для любой перестановки $\left( a,b,c,d \right)$ этих чисел выполняется неравенство $25\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)\ge 16{{\left( ac+bd \right)}^{2}}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $p=9k+1$ — простое число, где число $k$ — натуральное. Докажите, что существует целое число $n$ такое, что ${{n}^{3}}-3n+1$ делится на $p$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(1)
результаты