Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2013 год


Задача №1.  Одна мельница перемалывает 19 центнеров пшеницы за 3 часа, другая — 32 центнера за 5 часов, третья — 10 центнеров за 2 часа. Как распределить между ними 133 тонны пшеницы, чтобы, одновременно начав работу, они окончили ее одновременно?
комментарий/решение
Задача №2.  Про числа $a$, $b$ и $c$ известно, $\dfrac{a}{b+c-a}=\dfrac{b}{a+c-b}=\dfrac{c}{a+b-c}.$ Какие значения может принимать выражение $\dfrac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a+c \right)}{abc}$?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На плоскости дано 13 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее 130 неравнобедренных треугольников с вершинами в этих точках.
комментарий/решение
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ через $A{{A}_{1}}$, $B{{B}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$ обозначим высоты, а через $A{{A}_{2}}$, $B{{B}_{2}}$ и $C{{C}_{2}}$ — медианы. Докажите, что длина ломаной ${{A}_{2}}{{B}_{1}}{{C}_{2}}{{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{A}_{2}}$ равна периметру треугольника$ABC$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Решите в целых числах систему неравенств \[\left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y + 63 < 0, \\ 3x + y + 3 < 0. \\ \end{gathered} \right.\]
комментарий/решение
Задача №6.  Докажите неравенство $8\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{4}}$, где $a$, $b$ — действительные числа и $a > 0$, $b > 0$.
комментарий/решение
Задача №7.  В кружочках расположены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается выбрать любую пару соседних (соединенных отрезком) чисел и прибавить к каждому из них одно и то же целое число (это число может меняться от шага к шагу). Можно ли из совокупности чисел на рис. 1 получить совокупность чисел, изображенных на рис. 2?

       


комментарий/решение
Задача №8.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнены соотношения: $\angle DAB=\angle ABC=60{}^\circ $ и $\angle CAB=\angle CBD$. Докажите, что $AD+CB=AB$.
комментарий/решение