Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2013 год

Решите в целых числах систему неравенств \[\left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y + 63 < 0, \\ 3x + y + 3 < 0. \\ \end{gathered} \right.\]

Комментарий/решение

Бірінші теңсіздікті екіге бөліп толық квадратты шығарамыз: $x^2+y^2+6x-10y+\frac{63}{2}< 0.$

$x^2+6x+9+y^2-10y+25-\frac{5}{2}<0 \Rightarrow (x+3)^2+(y-5)^2< \frac{5}{2}.$

$x,y\in \mathbb{Z}$ болғандықтан $(x+3)^2+(y-5)^2\in \mathbb{Z}_{0}$ және $0\leq (x+3)^2+(y-5)^2\leq 2.$

$1) (x+3)^2+(y-5)^2=0;$ $x,y\in\left \{ (-3;5) \right \}.$

$2) (x+3)^2+(y-5)^2=1;$ $x,y\in\left \{ (-3;6),(-3;4),(-2;5),(-4;5)\right \}.$

$3) (x+3)^2+(y-5)^2=2;$ $x,y\in\left \{(-4;6),(-4;4),(-2;6),(-2;4)\right \}.$

$1) (-3;5)$ екінші теңсіздікті қанағаттандырады.

$2) (-3;6),(-3;4),(-2;5),(-4;5)$ екінші теңсіздікті тек $(-3;4),(-4;5)$ жұбы қанағаттандырады.

$3) (-4;6),(-4;4),(-2;6),(-2;4)$ екінші теңсіздікті тек $(-4;6),(-4;4)$ қанағаттандырады.

Жауабы: $x,y\in\left \{ (-3;5),(-3;4),(-4;5),(-4;6),(-4;4)\right \}.$