Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2013 год

В треугольнике $ABC$ через $A{{A}_{1}}$, $B{{B}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$ обозначим высоты, а через $A{{A}_{2}}$, $B{{B}_{2}}$ и $C{{C}_{2}}$ — медианы. Докажите, что длина ломаной ${{A}_{2}}{{B}_{1}}{{C}_{2}}{{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{A}_{2}}$ равна периметру треугольника$ABC$.

Комментарий/решение

$A_2B_1$, $B_1C_2$, $C_2A_1$, $A_1B_2$, $B_2C_1$, $C_1A_2$ - медианы прямоугольных треугольников $\triangle BB_1C$, $\triangle AB_1B$, $\triangle AA_1B$, $\triangle AA_1C$, $\triangle AC_1C$, $\triangle BC_1C$ соответственно.

Тогда $A_2B_1=\cfrac{1}{2}BC$, $B_1C_2=\cfrac{1}{2}AB$, $C_2A_1=\cfrac{1}{2}AB$, $A_1B_2=\cfrac{1}{2}AC$, $B_2C_1=\cfrac{1}{2}AC$, $C_1A_2=\cfrac{1}{2}BC$.

Значит длина ломаной $A_2B_1C_2A_1B_2C_1A_2$ равна периметру треугольника $\triangle ABC$.