Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2013 год

Про числа $a$, $b$ и $c$ известно, $\dfrac{a}{b+c-a}=\dfrac{b}{a+c-b}=\dfrac{c}{a+b-c}.$ Какие значения может принимать выражение $\dfrac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a+c \right)}{abc}$?

Комментарий/решение

$$ \frac{a}{b+c-a}=\frac{b}{a+c-b}=\frac{c}{a+b-c}$$

$$ \frac{b+c-a}{a}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{a+b-c}{c}$$

$$ \frac{b+c}{a}-1=\frac{a+c}{b}-1=\frac{a+b}{c}-1$$

$$ \frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}$$

$$a=b=c\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow \frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}= \frac{(a+a)(a+a)(a+a)}{a^3}=8$$