қазақша
русский2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $n=\phi (n)+402$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $n$ натурал санын табыңдар, мұндағы $\varphi $ — Эйлер функциясы (егер ${{p}_{1}},...,{{p}_{k}}$ — натурал $n$ санының барлық әртүрлі жай бөлгіштері болса, онда $\varphi (n)=n\cdot \left( 1-\dfrac{1}{{{p}_{1}}} \right)\cdot ...\cdot \left( 1-\dfrac{1}{{{p}_{k}}} \right)$ екені белгілі; оның үстіне $\varphi (1)=1$).
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $BK=CL$ болатындай сәйкес $K$ және $L$ нүктелері алынған. $BL$ мен $CK$ кесінділері $P$ нүктесінде қиылысады. $MP$ түзуі $\angle BAC$ бұрышының биссектрисасына параллель болатындай $AC$ кесіндісінің ішкі $M$ нүктесі алынған. Онда $CM=AB$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Егер өлшемі $m\times n$ ($4\le m\le n$) кестенің әрбір бірлік шаршысына келесі шарттар орындалатындай етіп 0 немесе 1 сандарын жазуға мүмкін болса, оны жақсы деп атаймыз:
1) жазылған сандардың бәрі 0-ге тең емес және бәрі 1-ге тең емес;
2) барлық өлшемі $3\times 3$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең;
3) барлық өлшемі $4\times 4$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең.
Өлшемі $m\times n$ жақсы кесте табылатын барлық $(m;n)$ ($4\le m\le n$) натурал сандар парын анықтаңдар.
комментарий/решение
1) жазылған сандардың бәрі 0-ге тең емес және бәрі 1-ге тең емес;
2) барлық өлшемі $3\times 3$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең;
3) барлық өлшемі $4\times 4$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең.
Өлшемі $m\times n$ жақсы кесте табылатын барлық $(m;n)$ ($4\le m\le n$) натурал сандар парын анықтаңдар.
комментарий/решение
Есеп №4. 100 тастан тұратын үйме берілген. Осы үймені жаңа $k$ үймеге бөлуді ерекше дейміз, егер, біріншіден, әртүрлі үймедегі тастардың саны әртүрлі болса, және, екіншіден, ары қарай осы үймелердің кез келгенін екі үймеге бөлсек, пайда болған бөлудің жаңа $k+1$ үймесінің ішінен тас саны бірдей екі үйме табылса (әр үймеде кемінде бір тас бар).
а) Берілген 100 тастан тұратын үймені $k$ үймеге ерекше бөлуге болатындай $k$ санының ең үлкенін табыңдар.
б) Берілген үймені $k$ үймеге ерекше бөлуге болатындай $k$ санының ең кішісін табыңдар.
комментарий/решение(1)
а) Берілген 100 тастан тұратын үймені $k$ үймеге ерекше бөлуге болатындай $k$ санының ең үлкенін табыңдар.
б) Берілген үймені $k$ үймеге ерекше бөлуге болатындай $k$ санының ең кішісін табыңдар.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Егер $a,b,c,d$ нақты сандарының қосындысы нөлге тең болса, олар үшін теңсіздікті дәлелдеңіз:
${{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}^{2}}+12\ge 6(abc+abd+acd+bcd)$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышында $AD=BC+EF$, $BE=AF+CD$, $CF=DE+AB$ екені белгілі. Онда $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{CD}{AF}=\dfrac{EF}{BC}$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)