2-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2006 год


Про выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ известно, что $AD=BC+EF$, $BE=AF+CD$, $CF=DE+AB$. Докажите, что $$ \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{CD}}{{AF}} = \frac{{EF}}{{BC}}. $$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
2019-07-02 09:54:26.0 #

Проведем через точки $B,E$ прямые, параллельные к $CF,AD$ соответственно, пусть они пересекаются в точке $I$, проведем через точки $A,F$ аналогично прямые параллельные $DE,BC$, пусть они пересекают $IE,IB$ в точках $G,H$. Откуда получаем что $AB+DE=AB+AG=BH$ так же как и $EF+BC=EF+FH=EG$ учитывая что $AB+AG \geq BG$ аналогично и со вторым, откуда требуется найти такое расположение что $BH \geq BG , \ EG \geq EH $ которая возможно только в случае $G,H=I$ , откуда $A \in BI , \ F \in EI$ , аналогично и с остальными двумя. Значит такое возможно в случае $AB || DE , \ CD || AF , \ FE || BC$ откуда треугольники $HAF, HBE$ подобны и $AH=DE , HF=BC$ или $\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{EF}{HF} = \dfrac{AF}{CD}$ подставляя получаем нужное.