Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


Задача №1.  На доске записаны числа 1, 2, $\ldots$, 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют натуральные числа $a$, $b$, $c$ такие, что $$ n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b). $$ Здесь $(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$, $b$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение
Задача №3.  Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность с центром $O$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а точки $A_1$ ($A\neq A_1$) и $B_1$ ($B\neq B_1$) на описанной окружности такие, что угол $\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и $\angle IB_1A=\angle IB_1C$. Докажите, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются на прямой $OI$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть $AD$, $BE$ и $CF$ биссектрисы треугольника $ABC$. Обозначим через $M$ и $N$ середины отрезков $DE$ и $DF$ соответственно. Докажите, что если $\angle BAC\geq 60^\circ$, то $BN+CM< BC$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение
Задача №6.  Дано множество $A = \{1, 2, \ldots, n\}$ и натуральное число $m$. Сколько существует способов разделить $А$ на $m$ частей так, что если числа $a < b$ лежат в одной части, а $c < d$ в другой, то $(a-d)(b-c) > 0$? Например, если $n = 4$, $m = 2$, то существует 5 способов разделения: $$ \{1, 2\} \{3, 4\}; \quad \{1, 2, 3\} \{4\}; \quad \{1, 2, 4\} \{3\}; \quad \{1, 3, 4\} \{2\}; \quad \{2, 3, 4\} \{1\}. $$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
результаты