Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Если числа положительные:

a) $\dfrac{P}{Q} = \dfrac{a_{1}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}}{b_{2}} + ... + \dfrac{a_{n}}{b_{n}}$

Применяя неравенство $AM \geq GM$ учитывая условие $a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a{n} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot ... \cdot b_{n}$ (произведение должно равняться 1)

$\dfrac{P}{Q} \geq n \cdot \sqrt[n]{\dfrac{a_{1}a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}{b_{1}b_{2} \cdot ... \cdot b_{n}}} = n$ то есть не любое.

б) $\dfrac{P}{Q} = \dfrac{a_{1}}{b_{1}} \cdot \dfrac{a_{2}}{b_{2}} \cdot ... \cdot \dfrac{a_{n}}{b_{n}}$

Применяя неравенство $AM \geq GM$ учитывая условие $ \dfrac{a_{1}}{b_{1}} + \dfrac{a_{2}}{b_{2}} + ... + \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = 1 $ ( сумма должна равняться 1)

$1 \geq n \sqrt[n]{ \dfrac{a_{1}}{b_{1}} \cdot \dfrac{a_{2}}{b_{2}} \cdot ... \cdot \dfrac{a_{n}}{b_{n}}} $ или $\dfrac{P}{Q} \leq \dfrac{1}{n^n}$ то есть не для всех .

.

$a)$ Ответ: можно

Заметим, что $$\frac 1 q + \left(-\frac {1} q\right) + 2q + \left(-\frac {q} 2\right)=\frac 3 2 q$$

для любого рационального $q\neq 0$.Так же заметим, что

$$0=1+1+(-1)+(-1)$$

P.S. любое рациональное число не равное 0, можно представить в виде $\frac 3 2 q$, где $q\in\mathbb Q , q\neq 0$

$b)$ Ответ: можно

Заметим, что $$1*q*q*\left(\frac 1 q\right)*\left(-\frac 1 q\right)*\left(-2q\right)=2q$$

для любого рационального $q\neq 0$.Так же заметим, что $$0*1=0$$

P.S. любое рациональное число не равное 0, можно представить в виде $2q$, где $q\in\mathbb Q , q\neq 0$