қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс
Задача №1. Докажите, что для любого натурального $n\geq2$ , число $ \underbrace{2^{2^{ \dots ^{2}}}}_{n \text{ раз}}-\underbrace{2^{2^{ \dots .^{2}}}}_{n-1 \text{ раз}} $ делится на $n$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В треугольнике $АBC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Обозначим центры вписанных окружностей треугольников $AC_1B_1$ и $CA_1B_1$ через $I_1$ и $I_2$ соответственно. Пусть вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$. Докажите, что четырехугольник $I_1I_2B_1B_2$ — вписанный.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В шахматном турнире участвуют $n$ человек ($n > 1$ — натуральное число).
За весь турнир каждый игрок играет с каждым другим ровно одну партию.
В каждой партии игроку за выигрыш начисляется 1 очко, за ничью — $0,\!5$ очков,
а за проигрыш — 0 очков.
Если по окончании турнира игрок набирает не менее $75\%$ от максимального возможного количества очков,
которые он может набрать, то ему присваивается разряд.
Какое наибольшее количество участников турнира могут получить разряд?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что для чисел $ 0 < a_{1}\leq a_{2}\leq \dots \leq a_{n} $ ($ n\geq 3$) выполнено неравенство
$$
\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\frac{a_{2}^{3}}{a_{3}^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}^{n+1}}{a_{1}^{n}}\geq a_{1}+a_{2}+ \ldots +a_{n}.
$$
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$, прямые $AB$ и $CD$ — в точке $N$, прямые $AC$ и $BD$ — в точке $P$, а прямые $OP$ и $MN$ — в точке $K$. Докажите, что $\angle PKC=\angle AKP$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Докажите, что не существует четырех точек на плоскости таких, что расстояние между
любыми двумя из них является нечетным целым числом.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)