Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Задача №1. Найдите какое-нибудь девятизначное число $N$, состоящее из различных цифр, такое, что среди всех чисел, получающихся из $N$ вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого. Докажите, что найденное число подходит. (Если полученное вычеркиванием цифр число начинается на ноль, то ноль тоже вычеркивается.)
комментарий/решение(1)

Задача №2. В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовем клетку $\textit{правильной}$, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?
комментарий/решение

Задача №3. Известно, что $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_6^2 =6$ и $x_1 + x_2 + \dots + x_6 =0$. Докажите, что $x_1x_2 \dots x_6 \leq \frac{1}{2}$.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность этого треугольника в точках $A_0$ и $C_0$ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$, пересекается с прямой $A_0C_0$ в точке $P$. Докажите, что прямая $PB$ касается описанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. На доске записано произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{100}$, где $a_1$, $\dots$, $a_{100}$ — натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений четные. Какое наибольшее количество четных чисел среди $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{100}$ могло быть?
комментарий/решение(1)

Задача №6. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ и высота $BE$. Докажите, что угол $CED$ больше $45^\circ$.
комментарий/решение(2)

Задача №7. При изготовлении партии из $N \geq 5$ монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?
комментарий/решение

Задача №8. Число $N$, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, делящихся на 3. Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, не делящихся на 3.
комментарий/решение(1)