Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Число $N$, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, делящихся на 3. Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, не делящихся на 3.

Комментарий/решение

Решение: Пусть N = 9a² + 9b² + 9c². Если числа a, b, c делятся на 3, то N делится на 81, что неверно. Пусть для определенности a не делится на 3. Можно считать, что a + b + c не кратно 3 (иначе заменим a на –a). Тогда

N = (4a² + 4b² + c²) + (4b² + 4c² + a²) + (4c² + 4a² + b²) = (2a + 2b – c)² + (2a + 2c – b)² + (2b + 2c – a)².

При этом каждое из чисел: 2a + 2b – c, 2b + 2c – a, 2c + 2a – b сравнимо по модулю 3 с числом 2(a + b + c), не кратным 3. Требуемое представление получено.