Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 7 класс.

Задача №1. На цветочный базар завезли 2021 розу: белые, фиолетовые и красные (каждого цвета не менее 100). Из них составили 333 букета, состоящих либо из 5 белых роз, либо из 7 фиолетовых роз, либо из 9 красных роз. Какое наибольшее число белых роз могло быть завезено на цветочный базар?
комментарий/решение(7)

Задача №2. Вычислите сумму:

$\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{3}{{2 \cdot 5}} + \frac{5}{{5 \cdot 10}} + \frac{7}{{10 \cdot 17}} + \frac{9}{{17 \cdot 26}} + \frac{{11}}{{26 \cdot 37}}.$
комментарий/решение(4)

Задача №3. В трегольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$CD$ . Известно, что

$\angle A = 2\angle B$ ,

$\angle C= 2(\angle A + \angle B)$ . Докажите, что

$AB=BC+CD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все двузначные натуральные числа, каждое из которых делится на сумму факториалов своих цифр?
Примечание. Факториал натурального числа

$n$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до

$n$ включительно и обозначается

$n!$ (

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ ). Например,

$1! = 1$ ,

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$ . Факториал нуля принято считать равным 1, то есть

$0! = 1$ .
комментарий/решение(6)