қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 7 класс.
Задача №1. На цветочный базар завезли 2021 розу: белые, фиолетовые и красные (каждого цвета не менее 100). Из них составили 333 букета, состоящих либо из 5 белых роз, либо из 7 фиолетовых роз, либо из 9 красных роз. Какое наибольшее число белых роз могло быть завезено на цветочный базар?
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №2. Вычислите сумму: $\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{3}{{2 \cdot 5}} + \frac{5}{{5 \cdot 10}} + \frac{7}{{10 \cdot 17}} + \frac{9}{{17 \cdot 26}} + \frac{{11}}{{26 \cdot 37}}.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. В трегольнике $ABC$ проведена биссектриса $CD$. Известно, что $\angle A = 2\angle B$, $\angle C= 2(\angle A + \angle B)$. Докажите, что $AB=BC+CD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все двузначные натуральные числа, каждое из которых делится на сумму факториалов своих цифр?
Примечание. Факториал натурального числа $n$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно и обозначается $n!$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$). Например, $1! = 1$, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Факториал нуля принято считать равным 1, то есть $0! = 1$.
комментарий/решение(6)
Примечание. Факториал натурального числа $n$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно и обозначается $n!$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$). Например, $1! = 1$, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Факториал нуля принято считать равным 1, то есть $0! = 1$.
комментарий/решение(6)