қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Оң нақты $a,b,c$ сандары $a+b+c=1$ теңдігін қанағаттандыратынын болса, төмендегі теңсіздікті дәлелдеңдер: $ \dfrac{ab}{1+c}+\dfrac{bc}{1+a}+\dfrac{ca}{1+b}\le \dfrac{1}{4}.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Егер $ABC$ үшбұрышының бұрыштары $\dfrac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C}}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}} = 2$ тепе-теңдігін қанағаттандыратынын болса, осы үшбұрыштың тікбұрышты болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Өлшемі $2m\times n$ болатын тіктөртбұрыш өлшемі $2\times 1$ болатын $mn$ тіктөртбұрыш плиткалармен толық жабылған. Егер тіктөртбұрышты бос емес екі бөлікке бөлетін және плиткалардың ешқайсысының ішкі нүктелері арқылы өтпейтін түзу табылса, бұл жабуды трансверсальды деп атаймыз.
a) Өлшемі $6\times 6$ болатын тіктөртбұрыштың 18 плиткамен жабуының кез келгені трансверсальды болатынын дәлелдеңдер.
b) Өлшемі $6\times 7$ болатын тіктөртбұрыштың 21 плиткамен трансверсальды емес жабуы табыла ма?
комментарий/решение(1)
a) Өлшемі $6\times 6$ болатын тіктөртбұрыштың 18 плиткамен жабуының кез келгені трансверсальды болатынын дәлелдеңдер.
b) Өлшемі $6\times 7$ болатын тіктөртбұрыштың 21 плиткамен трансверсальды емес жабуы табыла ма?
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларынан сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелері алынған. $BE$ және $CD$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады. Егер $B{{C}^{\text{2}}}={BD\cdot BA}+{CE\cdot CA}$ теңдігі орындалса, онда $A$, $D$, $F$ және $E$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Теңдеулер жүйесінің барлық нақты шешімдерін табыңдар: $\left\{ \begin{array}{l}
2\sin x + 3\cos y = 3,\\
3\sin y + 2\cos x = 4.
\end{array} \right.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Келесі шартты қанағаттандыратын ең үлкен натурал $n$ санын табыңдар: $n$ саны $\sqrt[3]{n}$ санынан аспайтын барлық натурал сандарға қалдықсыз бөлінеді.
комментарий/решение
комментарий/решение