Областная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

Положительные вещественные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют тождеству $a+b+c=1$. Для них докажите неравенство $$ \frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ca}{1+b}\le \frac{1}{4}. $$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Обозначим левую часть неравенства через $S$. Воспользовавшись легко доказуемым неравенством $\dfrac{4}{x+y}\le \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$, получим $$4S =\frac{4ab}{(a+c)+(b+c)}+\frac{4bc}{(b+a)+(c+a)}+\frac{4ca}{(c+b)+(a+b)}\leq$$ $$\leq ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+bc\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+a}\right)+ca\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+b}\right)=$$ $$=\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+ca}{c+b}=a+b+c=1,$$ откуда и следует неравенство $S \leq \frac{1}{4}$.

У вас есть ошибка, ведь неравенство К.Б наоборот