Областная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

Полное замощение прямоугольника $2m\times n$ с помощью $mn$ прямоугольных плиток $2\times 1$ называется $\textit{трансверсальным}$, если найдется прямая, делящая прямоугольник на две непустые части и не проходящая через внутренние точки плиток.
а) Докажите, что любое замощение прямоугольника $6\times 6$ с помощью 18 плиток является трансверсальным.
б) Найдется ли не трансверсальное замощение прямоугольника $6\times 7$ с помощью 21 плитки?

Комментарий/решение

а) 6*6 болатын тіктөртбұрыштың яғни, шаршының 18 плиткамен жабуының кез келген түрі трансверсалды болады. Себебі, біріншіден бұл фигура шаршы яғни 6 клетканы 2 ге және 1 ге бөлгенде ешқандай қалдық қалмайды. Сондықтан да плиткалардың қалай орналасқанына қарамастан, бұл фигураның қақ ортасынан жүргізілген түзу плиткаларды қимайды. Әрине плиткалардың қалай орналасқанына тікелей байланысты.

б) Жоғарыда көрсеткен дәлелдеуге сүйеніп 6*7 болатын тіктөртбұрыштың 21 плиткамен трансверсальды емес жабуы табылады деп айта аламын. 7 2ге қалдықсыз бөлінбейді . Яғни плиткалардың барлығын вертикаль қою қолдан келсе ал горизанталь қою мүмкін емес. Сәйкесінше, трансверсальды емес жабуы табылады.