7-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2007 жыл

Кез келген оң нақты $a,b,c$ сандары үшін ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc\ge M(|a-b{{|}^{3}}+|b-c{{|}^{3}}+|c-a{{|}^{3}})$ теңсіздігі орындалатындай нақты $M$ санының ең үлкен мәнін тап. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

$a\ge b\ge c$ деп алсақ, жалпылыққа әсер етпейді.

$b\to 0^+, c\to 0^+$ жағдайында $\frac{1}{2}\ge M$ болады.

Енді $M=\frac{1}{2}$ үшін теңсіздікті дәлелдейік.

$a^3+b^3+c^3-3abc\ge \frac{1}{2} ((a-b)^3+(b-c)^3+(a-c)^3)$

$a=b+u, b=c+v. \ \ u,v\ge 0$ деп алайық. Онда

$2(a^3+b^3+c^3-3abc)\ge (a-b)^3+(b-c)^3+(a-c)^3$

$(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)\ge (a-b)^3+(b-c)^3+(a-c)^3$

$(u+2v+3c)(u^2+v^2+(u+v)^2)\ge u^3+v^3+(u+v)^3$

$6 c u^2 + 6 c u v + 6 c v^2 + 3 u^2 v + 3 u v^2 + 2 v^3\ge 0$