қазақша
русскийVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2007 год
Задача №1. На доске написаны $2, 3, 5, \ldots, 2003$, то есть все простые числа интервала $[2; 2007]$.
Операцией $\textit{упрощения}$ называется замена двух чисел $a,b$ на максимальное простое число, не превосходящее $\sqrt{a^2 - ab + b^2}$.
Сначала школьник стирает число $q$, $2 < q < 2003$, потом применяет к оставшимся числам операцию упрощения до тех пор,
пока не остается одно число. Найдите максимально возможное и минимально возможное значения числа, полученного в итоге.
Как зависят эти значения от числа $q$?
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Пусть вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается стороны $BC$ в точке $K$.
Проведем окружность, проходящую через точки $B$ и $C$, и касающуюся $\omega$ в точке $S$.
Докажите, что прямая $SK$ проходит через центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Найдите максимальное значение вещественного числа $M$,
при котором для любых положительных вещественных чисел $a,b,c$ выполняется неравенство
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \ge M (|a-b|^3 + |b - c|^3 + |c - a|^3)$$
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Множество многочленов $f_1, f_2, \ldots, f_n$ с вещественными коэффициентами называется \textit{особым},
если для любых различных $i,j,k \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ многочлен $\dfrac{2}{3}f_i + f_j + f_k$ не имеет вещественных корней,
но для любых различных $p,q,r,s \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ у многочлена $f_p + f_q + f_r + f_s$ существует вещественный корень.
1) Приведите пример особого множества из четырех многочленов, сумма которых не является нулевым многочленом.
2) Существует ли особое множество из пяти многочленов?
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение
комментарий/решение