Эйлер атындағы олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Дөңес $ABCDE$ бесбұрышында $BE$ түзуі $CD$ түзуіне параллель және $BE$ кесіндісі $CD$ кесіндісінен қысқа. Бесбұрыштың ішінен $ABCF$ және $AGDE$ — параллелограммдар болатындай $F$ пен $G$ нүктелері алынған. $CD=BE+FG$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов, К. Кноп )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Отметим на отрезке $CD$ такую точку $H$, что $CH = BE$. Тогда $BEHC$ — параллелограмм. Значит, отрезок $EH$ параллелен и равен отрезку $BC$, а, тем самым, и отрезку $AF$. Следовательно, $AFHE$ — параллелограмм. Теперь получаем, что отрезок $FH$ параллелен и равен отрезку $AE$, а, тем самым, и отрезку $GD$. А это значит, что и $FGDH$ — параллелограмм. Следовательно, $DH = FG$, откуда $CD = CH + DH = BE + FG$.