К. Кноп


Задача №1.  На столе лежат 100 одинаковых с виду монет, из которых 85 фальшивых и 15 настоящих. В вашем распоряжении есть чудо-тестер, в который можно положить две монеты и получить один из трех результатов — «обе монеты настоящие», «обе монеты фальшивые» и «монеты разные». Можно ли за 64 таких теста найти все фальшивые монеты? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Пусть $n$ — натуральное число, большее 1. У Кости есть прибор, устроенный так, что если в него положить $2n+1$ различных по весу монет, то он укажет, какая из монет — средняя по весу среди положенных. Барон Мюнхгаузен дал Косте $4n+1$ различных по весу монет и про одну из них сказал, что она является средней по весу. Как Косте, использовав прибор не более $n+2$ раз, выяснить, прав ли барон? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, причём прямая $BE$ параллельна прямой $CD$ и отрезок $BE$ короче отрезка $CD$. Внутри пятиугольника выбраны точки $F$ и $G$ таким образом, что $ABCF$ и $AGDE$ — параллелограммы. Докажите, что $CD = BE + FG$. ( С. Берлов, К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Среди 49 одинаковых на вид монет — 25 настоящих и 24 фальшивых. Для определения фальшивых монет имеется тестер. В него можно положить любое количество монет, и если среди этих монет больше половины — фальшивые, тестер подает сигнал. Как за пять тестов найти две фальшивых монеты? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  У Зевса имеются весы, позволяющие узнавать вес положенного на них груза, и мешок со 100 монетами, среди которых есть 10- и 9-граммовые. Зевсу известно общее число $N$ 10-граммовых монет в мешке, но неизвестно, какие именно сколько весят. Он хотел бы сделать четыре взвешивания на весах и в результате гарантированно найти хотя бы одну 9-граммовую монету. При каком наибольшем $N$ это возможно? ( К. Кноп )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  Дана окружность длины 90. Можно ли отметить на ней 10 точек так, чтобы среди дуг с концами в этих точках имелись дуги со всеми целочисленными длинами от 1 до 89? ( К. Кноп )
комментарий/решение олимпиада