Yugoslavia


Задача №1.  Докажите, что число $\underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5$ (состоящее из 1997 единиц и 1998 двоек) является точным квадратом. ( Yugoslavia )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Пусть $S$ — квадрат со стороной 20 и $M$ множество точек, состоящее из вершин $S$ и еще из 1999 точек, лежащих внутри $S$. Докажите, что существует треугольник с вершинами из $M$, площадь которого не превосходит $\frac 1{10}$. ( Yugoslavia )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Пусть $N$ — выпуклый 1415-угольник с периметром 2001. Докажите, что существует 3 вершины из $N$, которые образуют треугольник площади, меньше 1. ( Yugoslavia )
комментарий/решение олимпиада