3-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Пловдив, Болгария, 1999 год


Задача №1.  Пусть $ a,b,c,x,y$ — действительные числа такие, что $ a^3 + ax + y = 0$, $ b^3 + bx + y = 0$ и $ c^3 + cx + y = 0$. Докажите, что если $ a,b,c$ попарно различные числа, что их сумма равна 0. ( Ciprus )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть $A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ при всех целых неотрицательных $n$. Найдите наибольший общий делитель чисел $A_0$, $A_1$, $\ldots$, $A_{1999}$. ( Romania )
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $S$ — квадрат со стороной 20 и $M$ множество точек, состоящее из вершин $S$ и еще из 1999 точек, лежащих внутри $S$. Докажите, что существует треугольник с вершинами из $M$, площадь которого не превосходит $\frac 1{10}$. ( Yugoslavia )
комментарий/решение
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ верно $AB=AC$. Пусть $D$ точка на стороне $BC$ такая, что $BC > BD > DC > 0$, $\mathcal{C}_1$ и $\mathcal{C}_2$ — описанные окружности треугольников $ABD$ и $ADC$ соответственно. Пусть $BB'$ и $CC'$ — диаметры в этих двух окружностях, а $M$ — середина отрезка $B'C'$. Докажите, что площадь треугольника $MBC$ не зависит от выбора точки $D$. ( Greece )
комментарий/решение