қазақша
русскийРезультаты Западно-китайской математической олимпиады 2016
Уважаемые любители олимпиадной математики! Представляем Вам новость о очередном успехе сборной Казахстана на Западно-Китайской математической олимпиаде (ЗКО).
В этом году на ЗКО приняло участие 267 учеников из Китая, Сингапура, Гонконга, Индонезии, Филиппин и Казахстана. Официальных участников было около 100. Всего было предложено 8 задач в двух турах, по 4 задачи в каждом туре. Каждая задача оценивалась в 15 баллов. Результаты казахстанской сборной выглядели следующим образом:
- Аманбаева Аружан (РФМШ, 120 баллов из 120) – золотая медаль,
- Мухаммед-Али Амир (Жас дарын, Павлодар, 78 баллов) – серебряная медаль,
- Зиманов Темирхан (134 лицей, Алматы, 75 баллов) – серебряная медаль,
- Билялов Шынгыс (КТЛ, Алматы, 75 баллов) – серебряная медаль.
Как видим из результатов, Аружан стала абсолютной победительницей этой олимпиады, повторив успех Куата Есенова, который также был абсолютным победителем в 2004 году. Поздравляем сборную Казахстана, а также всех причастных к победе с успешным выступлением!
Также благодарим научных руководителей сборной Казахстана на ЗКО Ибатулина Ибрагима Жоржевича за предоставленную информацию об итогах Олимпиады, а также Нуртазанова Еркулана Нуртазановича за фотографии. Напомним, что благодаря РНПЦ Дарын, наша сборная уже около 10 лет приобретает бесценный опыт участия на международных состязаниях на Западно-Китайской математической олимпиаде.
Если говорить о задачах, то китайцы составили туры в своем стиле. Если российские задачи особенно славятся своими комбинаторными задачами, то китайцы выделяются своими задачами по алгебре и теории чисел (даже их комбинаторные задачи каким-то образом связаны с этими разделами).
Обзор олимпиады прошлого года доступен по ссылке http://matol.kz/news/43.
С условиями задач этого года можете ознакомиться ниже.
Условия задач Западно-китайской математической олимпиады 2016
1 тур
Задача 1. Даны действительные числа $a,b,c,d$ для которых выполнено неравенство $abcd>0$. Докажите, что существует перестановка $x,y,z,w$ чисел $a,b,c,d$ такая, что $$2(xy+zw)^2 > (x^2+y^2)(z^2+w^2).$$
Задача 2. Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$, а их общая внешняя касательная касается $O_1$ и $O_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\Gamma$, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает $O_1$ и $O_2$ в точках $D$ и $C$ соответственно. Докажите, что $\displaystyle \frac{CP}{CQ}=\frac{DP}{DQ}$.
Задача 3. Пусть $n$ и $k$ — натуральные числа такие, что $k \leq {n-2}$. Известно, что абсолютное значение суммы элементов любого $k$-элементного подмножества множества $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ не больше 1. Докажите, что если $|a_1|\geq1$, то для любого $2\leq i \leq n$ верно $|a_1|+|a_i|\leq2$.
Задача 4. Для каждой последовательности из $n$ чисел $\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{n-1}}}, a_{n}\right)$ операцию ее замены на новую последовательность $$ (a_1+a_2, a_2+a_3, \cdots, a_{n-1}+a_n, a_n+a_1)$$ назовем трансформацией.
Найдите все пары целых чисел $(n,k)$, с условием $n,k\geq 2$, таких, что для любых $n$ целых чисел $(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n)$, после конечного числа применений трансформации, каждое число новой последовательности кратно $k$.
2 тур
Задача 5. Докажите, что существует бесконечно много троек $(a,b,c)$, где $a,b,c$ — попарно взаимно простые натуральные числа, таких, что числа $ab+c ,bc+a ,ca+b$ также являются попарно взаимно простыми.
Задача 6. Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — неотрицательные действительные числа и $S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i $ $(1\le k\le n)$. Докажите неравенство $$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2.$$
Задача 7. Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны. Докажите, что одна из общих внешних касательных к окружностям, вписанных в треугольники $ABC$ и $ADC$, параллельна прямой $BD$.
Задача 8. Даны взаимно простые натуральные числа $m,n$ такие, что $2\leq m < n$. Определите наименьшее возможное натуральное число $k$, удовлетворяющее следующим условиям: для любого $m$-элементного подмножества $I$ множества $\{1,2,\cdots,n\}$, если $\sum\limits_{i \in I} i > k$, то существует последовательность, состоящая из $n$ действительных чисел $a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ такая, что $$\frac1m\sum_{i\in I} a_i > \frac1n\sum_{i=1}^na_i.$$
Комментарий(1)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.