Результаты Западно-китайской математической олимпиады 2016

Дата публикации: 2016-08-23

Уважаемые любители олимпиадной математики! Представляем Вам новость о очередном успехе сборной Казахстана на Западно-Китайской математической олимпиаде (ЗКО).

В этом году на ЗКО приняло участие 267 учеников из Китая, Сингапура, Гонконга, Индонезии, Филиппин и Казахстана. Официальных участников было около 100. Всего было предложено 8 задач в двух турах, по 4 задачи в каждом туре. Каждая задача оценивалась в 15 баллов. Результаты казахстанской сборной выглядели следующим образом:

Аманбаева Аружан (РФМШ, 120 баллов из 120) – золотая медаль,
Мухаммед-Али Амир (Жас дарын, Павлодар, 78 баллов) – серебряная медаль,
Зиманов Темирхан (134 лицей, Алматы, 75 баллов) – серебряная медаль,
Билялов Шынгыс (КТЛ, Алматы, 75 баллов) – серебряная медаль.

Как видим из результатов, Аружан стала абсолютной победительницей этой олимпиады, повторив успех Куата Есенова, который также был абсолютным победителем в 2004 году. Поздравляем сборную Казахстана, а также всех причастных к победе с успешным выступлением!

Также благодарим научных руководителей сборной Казахстана на ЗКО Ибатулина Ибрагима Жоржевича за предоставленную информацию об итогах Олимпиады, а также Нуртазанова Еркулана Нуртазановича за фотографии. Напомним, что благодаря РНПЦ Дарын, наша сборная уже около 10 лет приобретает бесценный опыт участия на международных состязаниях на Западно-Китайской математической олимпиаде.

Фотография 4

Если говорить о задачах, то китайцы составили туры в своем стиле. Если российские задачи особенно славятся своими комбинаторными задачами, то китайцы выделяются своими задачами по алгебре и теории чисел (даже их комбинаторные задачи каким-то образом связаны с этими разделами).

Обзор олимпиады прошлого года доступен по ссылке http://matol.kz/news/43.

С условиями задач этого года можете ознакомиться ниже.

Условия задач Западно-китайской математической олимпиады 2016

1 тур

Задача 1. Даны действительные числа

$a,b,c,d$ для которых выполнено неравенство

$abcd>0$ . Докажите, что существует перестановка

$x,y,z,w$ чисел

$a,b,c,d$ такая, что

$2(xy+zw)^2 > (x^2+y^2)(z^2+w^2).$
Задача 2. Окружности

$O_1$ и

$O_2$ пересекаются в точках

$P$ и

$Q$ , а их общая внешняя касательная касается

$O_1$ и

$O_2$ в точках

$A$ и

$B$ соответственно. Окружность

$\Gamma$ , проходящая через точки

$A$ и

$B$ , пересекает

$O_1$ и

$O_2$ в точках

$D$ и

$C$ соответственно. Докажите, что

$\displaystyle \frac{CP}{CQ}=\frac{DP}{DQ}$ .
Задача 3. Пусть

$n$ и

$k$ — натуральные числа такие, что

$k \leq {n-2}$ . Известно, что абсолютное значение суммы элементов любого

$k$ -элементного подмножества множества

$\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ не больше 1. Докажите, что если

$|a_1|\geq1$ , то для любого

$2\leq i \leq n$ верно

$|a_1|+|a_i|\leq2$ .
Задача 4. Для каждой последовательности из

$n$ чисел

$\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{n-1}}}, a_{n}\right)$ операцию ее замены на новую последовательность

$(a_1+a_2, a_2+a_3, \cdots, a_{n-1}+a_n, a_n+a_1)$ назовем трансформацией.
Найдите все пары целых чисел

$(n,k)$ , с условием

$n,k\geq 2$ , таких, что для любых

$n$ целых чисел

$(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n)$ , после конечного числа применений трансформации, каждое число новой последовательности кратно

$k$ .

2 тур

Задача 5. Докажите, что существует бесконечно много троек

$(a,b,c)$ , где

$a,b,c$ — попарно взаимно простые натуральные числа, таких, что числа

$ab+c ,bc+a ,ca+b$ также являются попарно взаимно простыми.
Задача 6. Пусть

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ — неотрицательные действительные числа и

$S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i$

$(1\le k\le n)$ . Докажите неравенство

$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2.$
Задача 7. Во вписанном четырехугольнике

$ABCD$ углы

$BAC$ и

$DAC$ равны. Докажите, что одна из общих внешних касательных к окружностям, вписанных в треугольники

$ABC$ и

$ADC$ , параллельна прямой

$BD$ .
Задача 8. Даны взаимно простые натуральные числа

$m,n$ такие, что

$2\leq m < n$ . Определите наименьшее возможное натуральное число

$k$ , удовлетворяющее следующим условиям: для любого

$m$ -элементного подмножества

$I$ множества

$\{1,2,\cdots,n\}$ , если