Processing math: 3%

Результаты Западно-китайской математической олимпиады 2015

Жариялау күні: 2015-08-29

Как сообщает официальный сайт Республиканского научно-практического центра «Дарын» в период с 14 по 19 августа 2015 года сборная команда Казахстана по математике принимала участие в 15-ой Западно-Китайской математической олимпиаде в г.Инчуань (Китай). В олимпиаде приняли участие команды из Китая, Сингапура и Казахстана. Из результатов указанных ниже можно увидеть, что наша сборная выступила блестяще.

Результаты сборной

ФИО

Класс

Город/регион

1

2

3

4

5

6

7

8

Сумма

Медаль

1

Зиманов Темирхан

10

г. Алматы

15

15

0

15

15

15

0

6

81

Золото

2

Амангельдин Темирлан

11

г. Астана

15

0

15

0

15

12

0

15

72

Золото

3

Акшулаков Райымбек

11

РСФМШИ

15

15

15

0

15

6

0

0

66

Золото

4

Жанбырбаев Есен

11

РСФМШИ

6

3

15

0

15

0

0

0

39

Серебро

Слева на право: Зиманов Темирхан, Амангельдин Темирлан, Жанбырбаев Есен, Акшулаков Райымбек, Ибатулин Ибрагим (руководитель сборной)

Условия задач Западно-Китайской математической олимпиады 2015

Задача № 1. Дано натуральное число n2, и x1,x2,,xn действительные числа такие, что сумма nk=1xk — целое число. Пусть dk=min, 1\leq k\leq n. Найдите максимум суммы \sum_{k=1}^nd_k.

Задача № 2. Две окружности \omega_1 и \omega_2 касаются внутренним образом в точке T (\omega_1 лежит внутри \omega_2). M и N — две различные точки на \omega_1, отличные от T. Пусть AB и CD — две хорды окружности \omega_2, проходящие через M и N соответственно. Докажите, что если отрезки AC, BD, MN пересекаются в одной точке K, то прямая TK лежит на биссектрисе угла MTN.

Задача № 3. Пусть n \ge 2 — натуральное число и x_1,x_2,\ldots,x_n — положительные действительные такие, что \sum_{i=1}^nx_i=1. Докажите, что \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}\right)\left(\sum_{1\le i < j\le n} x_ix_j\right)\le \frac{n}{2}.

Задача № 4. На плоскости дано 100 прямых, и пусть T — множество всех прямоугольных треугольников, ограниченных тремя прямыми. Найдите максимальное значение |T|, где |T| означает количество элементов множества T.

Задача № 5. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник площади S и AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. Докажите, что для любой перестановки x, y, z, w набора a, b, c, d выполняется неравенство S \leq \frac{xy+zw}{2}.

Задача № 6. Для последовательности a_1, a_2, \ldots, a_m действительных чисел определены следующие множества A = \left\{ {{a_i}|1 \leqslant i \leqslant m} \right\}{\text{ и }}B = \left\{ {{a_i} + 2{a_j}|1 \leqslant i,j \leqslant m,i \ne j} \right\}. Пусть дано натуральное число n>2. Для любой строго возрастающей арифметической последовательности натуральных чисел a_1, a_2, \ldots, a_n, определите минимально возможное число элементов множества A \triangle B, где A \triangle B=(A \cup B) \setminus (A\cap B).

Задача № 7. Пусть a \in (0,1), f(z)=z^2-z+a, z \in \mathbb{C} (\mathbb{C} — множество комплексных чисел). Докажите, что для любого комплексного числа z, где |z| \geq 1, существует комплексное число z_0 с условиями |z_0|=1 и |f(z_0)| \leq |f(z)|.

Задача № 8. Пусть k — натуральное число и n=(2^k)!. Докажите, что \sigma (n) имеет не менее одного простого делителя, большего чем 2^k. Здесь \sigma (n) — сумма всех положительных делителей числа n.


Комментарий(5)

9 года 8 месяца назад #

Ура! Молодцы! так держать!

9 года 7 месяца назад #

А все таки надо знать комплексные числа :)

7 года 10 месяца назад #

5) Рассмотрим случаи :

1. \frac{ab+cd}{2} \geq S

2. \frac{ac+bd}{2} \geq S

3. \frac{ad+bc}{2} \geq S

1. S=S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{ab \cdot sin \angle ABC + cd \cdot sin \angle ADC}{2} \leq \frac{ ab+cd}{2}

Что верно так как sin \alpha \leq 1

2) Применим неравенство Птолемея , получаем

\frac{ac+bd}{2} \geq \frac{AC \cdot BD}{2} \geq \frac{AC \cdot BD \cdot sin \angle ( AC , BD)}{2} = S Так как sin \alpha \leq 1 .

3. Аналогичен первому .

7 года 8 месяца назад #

Можете перенести Ваше решение в недавно добавленном разделе Западно-Китайской олимпиады: http://matol.kz/olympiads/537. Спасибо за вклад развитие сайта!

9 года 8 месяца назад #

Можно посмотреть h_здесь@http://daryn.kz/blogs/view/4/1755_h

В 6й задаче там не должно быть 2^a_j