Результаты Западно-китайской математической олимпиады 2015
Как сообщает официальный сайт Республиканского научно-практического центра «Дарын» в период с 14 по 19 августа 2015 года сборная команда Казахстана по математике принимала участие в 15-ой Западно-Китайской математической олимпиаде в г.Инчуань (Китай). В олимпиаде приняли участие команды из Китая, Сингапура и Казахстана. Из результатов указанных ниже можно увидеть, что наша сборная выступила блестяще.
Результаты сборной
№ |
ФИО |
Класс |
Город/регион |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Сумма |
Медаль |
1 |
Зиманов Темирхан |
10 |
г. Алматы |
15 |
15 |
0 |
15 |
15 |
15 |
0 |
6 |
81 |
Золото |
2 |
Амангельдин Темирлан |
11 |
г. Астана |
15 |
0 |
15 |
0 |
15 |
12 |
0 |
15 |
72 |
Золото |
3 |
Акшулаков Райымбек |
11 |
РСФМШИ |
15 |
15 |
15 |
0 |
15 |
6 |
0 |
0 |
66 |
Золото |
4 |
Жанбырбаев Есен |
11 |
РСФМШИ |
6 |
3 |
15 |
0 |
15 |
0 |
0 |
0 |
39 |
Серебро |
Слева на право: Зиманов Темирхан, Амангельдин Темирлан, Жанбырбаев Есен, Акшулаков Райымбек, Ибатулин Ибрагим (руководитель сборной)
Условия задач Западно-Китайской математической олимпиады 2015
Задача № 1. Дано натуральное число n≥2, и x1,x2,…,xn действительные числа такие, что сумма ∑nk=1xk — целое число. Пусть dk=minm∈Z|xk−m|, 1≤k≤n. Найдите максимум суммы ∑nk=1dk.Задача № 2. Две окружности ω1 и ω2 касаются внутренним образом в точке T (ω1 лежит внутри ω2). M и N — две различные точки на ω1, отличные от T. Пусть AB и CD — две хорды окружности ω2, проходящие через M и N соответственно. Докажите, что если отрезки AC, BD, MN пересекаются в одной точке K, то прямая TK лежит на биссектрисе угла MTN.
Задача № 3. Пусть n≥2 — натуральное число и x1,x2,…,xn — положительные действительные такие, что ∑ni=1xi=1. Докажите, что (n∑i=111−xi)(∑1≤i<j≤nxixj)≤n2.
Задача № 4. На плоскости дано 100 прямых, и пусть T — множество всех прямоугольных треугольников, ограниченных тремя прямыми. Найдите максимальное значение |T|, где |T| означает количество элементов множества T.
Задача № 5. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник площади S и AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. Докажите, что для любой перестановки x, y, z, w набора a, b, c, d выполняется неравенство S≤xy+zw2.
Задача № 6. Для последовательности a1, a2, …, am действительных чисел определены следующие множества A={ai|1⩽ Пусть дано натуральное число n>2. Для любой строго возрастающей арифметической последовательности натуральных чисел a_1, a_2, \ldots, a_n, определите минимально возможное число элементов множества A \triangle B, где A \triangle B=(A \cup B) \setminus (A\cap B).
Задача № 7. Пусть a \in (0,1), f(z)=z^2-z+a, z \in \mathbb{C} (\mathbb{C} — множество комплексных чисел). Докажите, что для любого комплексного числа z, где |z| \geq 1, существует комплексное число z_0 с условиями |z_0|=1 и |f(z_0)| \leq |f(z)|.
Задача № 8. Пусть k — натуральное число и n=(2^k)!. Докажите, что \sigma (n) имеет не менее одного простого делителя, большего чем 2^k. Здесь \sigma (n) — сумма всех положительных делителей числа n.
Комментарий(5)
5) Рассмотрим случаи :
1. \frac{ab+cd}{2} \geq S
2. \frac{ac+bd}{2} \geq S
3. \frac{ad+bc}{2} \geq S
1. S=S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{ab \cdot sin \angle ABC + cd \cdot sin \angle ADC}{2} \leq \frac{ ab+cd}{2}
Что верно так как sin \alpha \leq 1
2) Применим неравенство Птолемея , получаем
\frac{ac+bd}{2} \geq \frac{AC \cdot BD}{2} \geq \frac{AC \cdot BD \cdot sin \angle ( AC , BD)}{2} = S Так как sin \alpha \leq 1 .
3. Аналогичен первому .
Можете перенести Ваше решение в недавно добавленном разделе Западно-Китайской олимпиады: http://matol.kz/olympiads/537. Спасибо за вклад развитие сайта!
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.