Результаты Западно-китайской математической олимпиады 2015

Как сообщает официальный сайт Республиканского научно-практического центра «Дарын» в период с 14 по 19 августа 2015 года сборная команда Казахстана по математике принимала участие в 15-ой Западно-Китайской математической олимпиаде в г.Инчуань (Китай). В олимпиаде приняли участие команды из Китая, Сингапура и Казахстана. Из результатов указанных ниже можно увидеть, что наша сборная выступила блестяще.

Результаты сборной

Слева на право: Зиманов Темирхан, Амангельдин Темирлан, Жанбырбаев Есен, Акшулаков Райымбек, Ибатулин Ибрагим (руководитель сборной)

Условия задач Западно-Китайской математической олимпиады 2015

Задача № 2. Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внутренним образом в точке $T$ ($\omega_1$ лежит внутри $\omega_2$). $M$ и $N$ — две различные точки на $\omega_1$, отличные от $T$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности $\omega_2$, проходящие через $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что если отрезки $AC$, $BD$, $MN$ пересекаются в одной точке $K$, то прямая $TK$ лежит на биссектрисе угла $MTN$.

Задача № 3. Пусть $n \ge 2$ — натуральное число и $x_1,x_2,\ldots,x_n$ — положительные действительные такие, что $\sum_{i=1}^nx_i=1$. Докажите, что $$\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}\right)\left(\sum_{1\le i < j\le n} x_ix_j\right)\le \frac{n}{2}.$$

Задача № 4. На плоскости дано 100 прямых, и пусть $T$ — множество всех прямоугольных треугольников, ограниченных тремя прямыми. Найдите максимальное значение $|T|$, где $|T|$ означает количество элементов множества $T$.

Задача № 5. Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник площади $S$ и $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Докажите, что для любой перестановки $x$, $y$, $z$, $w$ набора $a$, $b$, $c$, $d$ выполняется неравенство $$S \leq \frac{xy+zw}{2}.$$

Задача № 6. Для последовательности $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ действительных чисел определены следующие множества $$A = \left\{ {{a_i}|1 \leqslant i \leqslant m} \right\}{\text{ и }}B = \left\{ {{a_i} + 2{a_j}|1 \leqslant i,j \leqslant m,i \ne j} \right\}.$$ Пусть дано натуральное число $n>2$. Для любой строго возрастающей арифметической последовательности натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, определите минимально возможное число элементов множества $A \triangle B$, где $A \triangle B=(A \cup B) \setminus (A\cap B)$.

Задача № 7. Пусть $a \in (0,1)$, $f(z)=z^2-z+a$, $z \in \mathbb{C}$ ($\mathbb{C}$ — множество комплексных чисел). Докажите, что для любого комплексного числа $z$, где $|z| \geq 1$, существует комплексное число $z_0$ с условиями $|z_0|=1$ и $|f(z_0)| \leq |f(z)|$.

Задача № 8. Пусть $k$ — натуральное число и $n=(2^k)!$. Докажите, что $\sigma (n)$ имеет не менее одного простого делителя, большего чем $2^k$. Здесь $\sigma (n)$ — сумма всех положительных делителей числа $n$.

Это предпросмотр

guest

Правила набора формул

Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.

отменить отправить предпросмотр

admin

9 года 8 месяца назад #

Ура! Молодцы! так держать!

admin

9 года 7 месяца назад #

А все таки надо знать комплексные числа :)

Matov

7 года 10 месяца назад #

5) Рассмотрим случаи :

1. $\frac{ab+cd}{2} \geq S$

2. $\frac{ac+bd}{2} \geq S$

3. $\frac{ad+bc}{2} \geq S$

1. $S=S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{ab \cdot sin \angle ABC + cd \cdot sin \angle ADC}{2} \leq \frac{ ab+cd}{2}$

Что верно так как $sin \alpha \leq 1$

2) Применим неравенство Птолемея , получаем

$\frac{ac+bd}{2} \geq \frac{AC \cdot BD}{2} \geq \frac{AC \cdot BD \cdot sin \angle ( AC , BD)}{2} = S$ Так как $sin \alpha \leq 1$ .

3. Аналогичен первому .

admin

7 года 8 месяца назад #

Можете перенести Ваше решение в недавно добавленном разделе Западно-Китайской олимпиады: http://matol.kz/olympiads/537. Спасибо за вклад развитие сайта!

admin

9 года 8 месяца назад #

Можно посмотреть h_здесь@http://daryn.kz/blogs/view/4/1755_h

В 6й задаче там не должно быть $2^a_j$