Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс


Пусть положительные числа a, b и c удовлетворяют неравенству abc164. Докажите, что a2+b2+c2+14(a+b+c)a+b+c4.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  8
6 года 3 месяца назад #

Используя неравенство о средних: a2+b2+c2+14(a+b+c)13(a+b+c)2+14(a+b+c)=(a+b+c)(13(a+b+c)+14)3413(a+b+c)14(a+b+c)

Так как последний и начальные неравенства верны, осталось доказать неравенство по середине. Если оба части наравенства возвести в квадрат и поделить на a+b+c и потом использовать Коши : (a+b+c)(13(a+b+c)+14)233abc(1333abc+14)2=314(13314+14)2=316. Что и требовалось доказать. Равенство при a=b=c=14.

пред. Правка 4   8
3 года 11 месяца назад #

LATEX версия моего решения >:D

both sides *4

4(a2+b2+c2)+a+b+ca+b+c

AMGM 4a2+4b2+4c23 364a2b2c2

4(a2+b2+c2)3/4 ( use that abc164)

replace 4(a2+b2+c2) it to 3/4

by AMGM a+1/4 a

do it for each and get that you needed to prove

пред. Правка 3   3
3 года 11 месяца назад #

сейчас сделаю LATEX