Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс
Пусть положительные числа a, b и c удовлетворяют неравенству abc≥164. Докажите, что a2+b2+c2+14(a+b+c)≥√a+√b+√c4.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Используя неравенство о средних: a2+b2+c2+14(a+b+c)≥13(a+b+c)2+14(a+b+c)=(a+b+c)(13(a+b+c)+14)≥34√13(a+b+c)≥14(√a+√b+√c)
Так как последний и начальные неравенства верны, осталось доказать неравенство по середине. Если оба части наравенства возвести в квадрат и поделить на a+b+c и потом использовать Коши : (a+b+c)(13(a+b+c)+14)2≥33√abc(13•33√abc+14)2=3•14(13•3•14+14)2=316. Что и требовалось доказать. Равенство при a=b=c=14.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.