Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2026 год

Пусть $\mathbb{R}_{+}$ обозначает множество всех положительных действительных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$ такие, что для любых $x,y,z\in\mathbb{R}_{+}$ выполнено неравенство \[ |x-y| < |y-z|\] тогда и только тогда, когда \[|f(x)-f(y)| < |f(y)-f(z)|. \]

Комментарий/решение

Допустим $f$ константа. Тогда при $x\neq y$ и $|x-y|<|z-y|$ выйдет противоречие. Для любых $x>z$, подставим $y=\frac{x+z}{2}$, тогда

$$f(x)+f(z)=2f(\frac{x+z}{2}), \forall x, z>0(*)$$

Так как и при $x=z$ выполняется $2f(x)=2f(x)$. Понятно $f$ иньективна, иначе если $f(z)=f(y)$, при $x=y$, выходит противоречие.

Докажем что $f(2x)=2f(x)+c$ для любых $x>0$, где $c$ константа.

Пусть $g(x)=f(2x)-2f(x)$

$$f(2x)+f(2z)=2f(x+z) \implies$$

$$f(x)-f(2x)/2+f(z)-f(2z)/2=2f(\frac{x+z}{2})-f(x+z) \implies$$

$$g(x)+g(z)=2g(\frac{x+z}{2})(**)$$

Докажем что $g(x)=g(2x)$. Или

$$(!): f(2x)-2f(x)=f(4x)-2f(2x) \Longleftrightarrow$$

$$(!): 3f(2x)=2f(x)+f(4x) \Longleftrightarrow $$

$$(!):2f(3x)+3f(2x)=2f(3x)+2f(x)+f(4x) \Longleftrightarrow$$

$$(!):2f(3x)=f(2x)+f(4x)$$

что верно (мы использовали $2f(x)+2f(3x)=4f(2x)$). $\square$

Подставим в $(**)$ $(x,z)$ и $(2x,z)$, тогда мы получим

$$g(\frac{x+z}{2})=g(x+\frac{z}{2}) \implies g \equiv c \quad \square$$

Тогда у нас выйдет $f(x)+f(z)=f(x+z)-c$. Сделав замену $h(x)=f(x)+c$,

$$h(x)+h(z)=h(x+z), |h(x)-h(z)|=|f(x)-f(z)|=h(|x-z|)$$

То есть $h(x)$ монотонна. Так как она аддитивна, получаем что $h(x)=ax$, то есть $f$ линейная функция, что подходит.