Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2026 год

Найдите все четверки положительных целых чисел $(a,p,m,o)$, в котором $o\ge 2$, удовлетворяющие равенства \[ a!+p!=m^o+26. \]

Комментарий/решение

Б.О.О

a>=p>=4

m^o = a! + p! – 26 ≡ 2 (mod 4)

m^o ≡ 2(mod 4)

m—четное

но четное число при возведении в степень >=2 делится нацело на 4

Значит o<2

Противоречие

Значит p<4

Случай 1

p=1

a! = m^o + 25

При a<5 нет решений

При a>=5 m⋮5

Если o чётное, то a! ≡ 1 + 25 ≡ 2 (mod 4) (решений нет)

Значит o нечетное и >=3

a! = m^o + 25 ≡ 25 (mod 5³)

Значит a! делится на 5², но не делится на 5³

А при a>=15 степень вхождения 5 в a! равно:

[a/5]+[a/25]+... >= 3

Значит 10<=a=<15

m^o = (a! - 25) ⋮ 5³

a=10; 10! - 25 = 5²(1*2*3*4*6*7*8*9*2 – 1)

Второй множитель должен делится на 5, чтоб m^o делилось на 5³

Но второй множитель ≡1*2*3*4*1*2*3*4*2 – 1≡ 2*24² –1 ≡ 2 – 1=1(mod 5)

Аналогично можно показать случаи a=11,12,13,14

Случай 2

p=2

m^o = a! – 24

При a=5 m^o=120 – 96 нет решений

При a>=6 m^o ≡ 3 (mod 9) нет решений

Случай 3

(Здесь легко обмануть себя из за остатков при делении на степени двойки)

p=3

a! = m^o + 20

a= 4; m^o =4; (m,o)=(2,2)

a=5; m^o=100; (m,o)=(10,2)

a>=6 a! ⋮ 2⁴

a! =m^o + 20

m чётное

Если m ⋮ 4, то m^o + 20≡8 + 20 ≡ 4(mod 8) нет решений

Если o>=3, то m^o + 20≡ 8 + 20 ≡ 4(mod 8) нет решений

Если o=2 и m ≡ 2(mod 4), то m^o + 20 = m² + 20 ≡ 4 + 24≡ 8(mod 16) нет решений

Ответ: (a, p, m, o) = (4, 3, 2, 2); (5, 3, 10, 2); (3, 4, 2, 2); (3, 5, 10, 2)