13-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2026 год, первая лига, 7-8 классы

В треугольнике $ABC$, в котором $\angle CAB=15^{\circ}$ и $\angle CBA=30^{\circ}$, точки $X$ и $Y$ лежат внутри угла $BCA$ так, что $\angle BCX=\angle ACY=45^{\circ}$ и $BC=CY$, $AC=CX$. Пусть прямая $XY$ пересекает $AB$ в точке $Z$. Докажите, что $AZ=BC$.

Комментарий/решение

Пусть \(D\) — точка на прямой \(BC\), такая что \(BC = CD\).Лемма. \(\angle DAC = 30^\circ\).Доказательство. Пусть \(H\) — основание высоты из точки \(D\) в треугольнике \(ABD\). Поскольку \(CH\) является медианой в прямоугольном треугольнике \(BHD\), то \(CB = CH = CD\). Так как \(\angle CDH = 60^\circ\), то эти отрезки также равны \(DH\). Поскольку \(\angle ACH + \angle CAH = \angle CHB\), имеем \(\angle ACH = \angle CAH = 15^\circ\). Следовательно, \(\angle DAH = \angle ADH = 45^\circ\), откуда \(\angle DAC = 30^\circ\).Так как \(\angle ACD = 45^\circ = \angle XCY\), \(CD = CY\) и \(CA = CX\), треугольники \(ACD\) и \(XCY\) равны. Таким образом, \(\angle CXY = 30^\circ\). Поскольку треугольник \(BYX\) является равнобедренным с \(BX = XY\) и \(\angle BXY = 60^\circ\), он должен быть равносторонним, значит \(BY = XY\). Снова в силу симметрии \(XY = YA\), а так как \(\angle CYA = \angle CYX = \angle CDA = 105^\circ\), получаем \(\angle XYA = 150^\circ\). Поскольку \(\angle BYX = 60^\circ\), то \(\angle BYA = 150^\circ\), следовательно, треугольники \(BYA\) и \(XYA\) равны, откуда \(AB = AX\).Теперь заметим, что \(\angle ZXA = \angle CXA - \angle CXY = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ = \angle CAB\), а \(\angle XZA = \angle ZXC + 90^\circ + 15^\circ = 135^\circ = \angle ACB\). При условии \(AB = XA\) получаем, что \(\triangle ABC \cong \triangle XAZ\), следовательно, \(AZ = BC\).