13-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2026 год, первая лига, 7-8 классы

Дан выпуклый четырёхугольник, в котором каждая диагональ больше любой из его сторон. Докажите, что длина каждой диагонали этого четырёхугольника меньше, чем $\sqrt{3}$, умноженная на длину одной из сторон.

Комментарий/решение

Предположим противное. Пусть \(AC\) — бóльшая диагональ. Проведем две окружности с центрами в точках \(A\) и \(C\) радиусом \(\frac{AC}{\sqrt{3}}\), и пусть \(B', D'\) — точки пересечения этих окружностей. Так как \(\sqrt{3} AB < AC\) и \(\sqrt{3} CB < AC\), точка \(B\) находится в области между двумя окружностями, показанными ниже (аналогично для \(D\)). Таким образом, \(60^\circ = \angle B'AD' > \angle BAD\) и \(60^\circ = \angle B'CD' > \angle BCD\) (заметим, что треугольники \(B'AD'\) и \(B'CD'\) являются равносторонними). Следовательно, \(\angle ABD + \angle CBD + \angle ADB + \angle CDB > 240^\circ\), значит, один из этих 4 углов больше \(60^{\circ }\). Без потери общности (WLOG) предположим, что \(\angle ABD > 60^\circ\). Тогда \(\angle ABD > 60^\circ > \angle BAD\), и следовательно, \(AD > BD\), что является противоречием.