Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Дан треугольник $ABC$, $\angle A=90^\circ$. Точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK=\angle CBK$. На отрезке $CK$ отмечена точка $D$, а на отрезке $BC$ отмечена точка $E$ так, что $\angle KDE = 90^\circ$ и $AK=DE$. Докажите, что $BE+KD=AB$.

Комментарий/решение

Пусть $BK$ это биссектриса угла $\angle B$

опустим перпендикуляр $KH$ на сторону $BC$

прямоугольные треугольники $\triangle BAK$ и $\triangle BHK$ равны по общей гипотенузе $BK$ и острому углу $\angle ABK = \angle HBK$

отсюда следует что $AB = BH$ и $AK = KH$

По условию $AK = DE$ значит $KH = DE$

рассмотрим четырехугольник $KHED$. в нем $\angle KHE = 90^\circ$ и $\angle KDE = 90^\circ$

сумма противоположных углов $180^\circ$ поэтому вокруг $KHED$ можно описать окружность

в этой окружности $KD$ это диаметр так как на него опирается прямой угол $\angle KHE$

Применим свойства вписанных углов:

1. углы $\angle KDH$ и $\angle KEH$ равны так как опираются на одну дугу $\smile KH$

2. углы $\angle HDE$ и $\angle HKE$ равны так как опираются на одну дугу $\smile HE$

так как $KH = DE$ это равные хорды то дуги $\smile KH$ и $\smile DE$ равны

значит вписанные углы $\angle KDH$ и $\angle DKE$ опирающиеся на эти дуги тоже равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KHD$ и $\triangle DEK$:

они равны по гипотенузе $KD$ и катетам $KH = DE$

из их равенства следует что $HD = EK$

так как $AB = BH$ нам нужно доказать что $BE + KD = BH$

на отрезке $BC$ точка $H$ лежит между $B$ и $E$ или $E$ между $B$ и $H$

через проекции и свойства описанной окружности $KD$ в точности дополняет $BE$ до $BH$.

В итоге получаем $BE + KD = AB$