Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Точка $L$ на стороне $BC$ такова, что $\angle CAL = \angle BAL$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отмечена точка $K$ так, что $CK=CL$. Оказалось, что $LK=BL$. Докажите, что $AC=AL$.

Комментарий/решение

Пусть $\angle BAC = \angle BCA = 2\alpha$. Так как $AL$ — биссектриса угла $A$ по условию, имеем $\angle CAL = \angle BAL = \alpha$.

Рассмотрим $\triangle LCK$. По условию $CK = CL$, значит треугольник равнобедренный. Внешний угол при вершине $C$ для $\triangle LCK$ — это угол $\angle BCA = 2\alpha$. По свойству внешнего угла треугольника:

$$\angle CLK + \angle CKL = \angle BCA = 2\alpha$$

Так как $\angle CLK = \angle CKL$, получаем $\angle CKL = \alpha$.

В треугольнике $AKL$ имеем: $\angle LAK = \angle CAL = \alpha$ и $\angle LKA = \angle CKL = \alpha$. Так как углы при основании $AK$ равны, $\triangle AKL$ — равнобедренный, следовательно:

$$AL = LK$$

По условию задачи $LK = BL$. Объединяя это с результатом предыдущего пункта, получаем:

$$AL = BL$$

Это означает, что $\triangle ABL$ также равнобедренный с основанием $AB$. Тогда $\angle LBA = \angle BAL = \alpha$.

Сумма углов в $\triangle ABC$ равна $180^\circ$:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

$$2\alpha + \alpha + 2\alpha = 180^\circ$$

$$5\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 36^\circ$$

Теперь найдем углы $\triangle ALC$:

$$\angle CAL = \alpha = 36^\circ$$

$$\angle ACL = 2\alpha = 72^\circ$$

$$\angle ALC = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ$$

В $\triangle ALC$ углы при основании $LC$ равны ($\angle ALC = \angle ACL = 72^\circ$), следовательно треугольник равнобедренный. Отсюда получаем искомое равенство боковых сторон:

$$AC = AL$$