Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Какое наименьшее натуральное значение может принимать выражение $$13a^2+b^2+c^2-4ab-6ac+b$$ для натуральных чисел $a,b,c$?

Комментарий/решение

13a² + b² + c² - 4ab - 6ac + b

4a² + b² - 4ab + 9a² + c² - 6ac + b

(2a-b)² + (3a-c)² + b (*)

Выражение (*) не меньше b, т.к два остальных слагаемых не меньше нуля.

(*)=b только при 2a=b и c=3a

b четно, значит b>=2

b=2 a=1 c=3

Ответ:2

Пусть данное выражение равно $S$:

$$S = 13a^2 + b^2 + c^2 - 4ab - 6ac + b$$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить квадраты двучленов, содержащие переменные $b$ и $c$:

$$S = (b^2 - 4ab + 4a^2) + (c^2 - 6ac + 9a^2) + b$$

$$S = (b - 2a)^2 + (c - 3a)^2 + b$$

По условию $a, b, c \in \mathbb{N}$ (натуральные числа). Рассмотрим возможные значения $a$:

Выражение принимает вид: $S = (b - 2)^2 + (c - 3)^2 + b$.

Чтобы минимизировать $S$, положим $c = 3$ (тогда второй квадрат равен $0$).

Остается минимизировать $(b - 2)^2 + b$:

При $b = 1$: $S = (1 - 2)^2 + 0 + 1 = 2$.

При $b = 2$: $S = (2 - 2)^2 + 0 + 2 = 2$.

Так как $b \in \mathbb{N}$, то для того, чтобы минимизировать $S$, значение $b$ должно быть близким к $2a$. При $a = 2$, $b$ должно быть около $4$, что уже дает $S \ge 4$. При дальнейшем росте $a$ значение $S$ будет только увеличиваться.

Наименьшее значение $S = 2$ достигается, например, при тройке чисел $(a, b, c) = (1, 1, 3)$.

Проверка: $13(1)^2 + 1^2 + 3^2 - 4(1)(1) - 6(1)(3) + 1 = 13 + 1 + 9 - 4 - 18 + 1 = 2$.

Значение $S=1$ недостижимо, так как для этого потребовалось бы $b=1$ и $(b-2a)^2=0$, откуда $a=0.5$, что противоречит условию $a \in \mathbb{N}$.

Ответ :2