Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2023 год

Докажите, что при $a, b, c \in[0,1]$ выполняется неравенство $(1-a)(1+a b)(1+a c)(1-a b c) \leqslant(1+a)(1-a b)(1-a c)(1+a b c)$. ( G. Raposo )

Комментарий/решение

$0\leqslant (1-b)(1-c)\Leftrightarrow 1+a^2bc-a-abc\leqslant 1+a^2bc-ab-ac\Longrightarrow (1-a)(1-abc)\leqslant (1-ab)(1-ac)$

$(!) (1+ab)(1+ac)\leqslant (1+a)(1+abc)\Leftrightarrow b+c\leqslant 1+bc\Leftrightarrow 0\leqslant (1-b)(1-c)\blacksquare$