Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

Число $\alpha$ является корнем уравнения $x^2-2x-5=0$. Найдите $\alpha^7 - 1189\alpha$.

Комментарий/решение

$\alpha^2=2\alpha+5$

$\alpha^3=\alpha^2 \times \alpha=(2\alpha+5)(\alpha)=2\alpha^2+5\alpha=9\alpha+10$

$\alpha^4=\alpha^3 \times \alpha=(2\alpha^2+5\alpha) \times \alpha=28\alpha+45$

$\alpha^7=\alpha^4 \times \alpha^3=(28\alpha+45)(9\alpha+10)=252\alpha^2+685\alpha+450=252(2\alpha+5)+685\alpha+450=1189\alpha+1710=\alpha^7$

Значит ответ:1710