Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.

Квадрат разрезан 18 линиями, 9 параллельны одной стороне, 9 параллельны другой стороне. Известно, что среди этих прямоугольников есть ровно 9 квадратов. Докажите, что 2 из них равны.

Комментарий/решение

Предположим, что все 9 квадратов имеют разные размеры. Каждый квадрат занимает одну строку и один столбец в сетке 10х10. Если все 9 квадратов имеют уникальные размеры, они должны располагаться в разных строках и разных столбцах.

Применение принципа Дирихле

У нас есть 10 строк и 10 столбцов. Если 9 квадратов расположены так, что ни одна строка и ни один столбец не содержат более одного из этих квадратов, то остается одна строка и один столбец, в которых нет ни одного из этих 9 квадратов.

Вывод

Прямоугольник, находящийся на пересечении оставшейся (десятой) строки и оставшегося (десятого) столбца, также должен быть квадратом, так как его стороны должны совпадать по длине с соответствующими сторонами других квадратов в этой строке/столбце (которых нет). Это противоречит условию, что существует ровно 9 квадратов. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и два из девяти квадратов должны быть равны.

$Answer$:

Доказательство основано на принципе Дирихле: если все 9 квадратов имеют разные размеры, они должны находиться в разных строках и столбцах сетки 10х10. Это оставляет одну строку и один столбец пустыми, а прямоугольник на их пересечении также оказывается квадратом, что противоречит условию о ровно 9 квадратах. Следовательно, два из них равны.