8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Вычислите: $\frac{1^2}{1^2-1 \cdot 40+800}+\frac{2^2}{2^2-2 \cdot 40+800}+\frac{3^2}{3^2-3 \cdot 40+800}+\cdots+\frac{39^2}{39^2-39 \cdot 40+800}.$

Комментарий/решение

$$\dfrac{20^2}{(20-20)^2+400}=1;$ $\dfrac{x^2}{(x-20)^2+400}+\dfrac{(40-x)^2}{((20-(40-x))^2+400}=\dfrac{2(x^2-40x+800)}{x^2-40x+800}=2\Longrightarrow \sum \limits_{x=1}^{39}{\dfrac{x^2}{(x-20)^2+400}}=1+2\cdot 19=39$$