8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

В один ряд в порядке возрастания записаны все делители натурального числа $n$ (включая 1 и само число $n$). Пусть $A$ — сумма первых трёх чисел, а $B$ — сумма трех последних чисел ряда. Найдите $\frac{B}{n}$, если $A=9$. (Считайте, что $n$ имеет не менее 6 делителей. В задаче найдите всевозможные ответы, и докажите, что других нет.)

Комментарий/решение

Рассмотрим случаи при $A=9$ в виде $9=1+k+t (t>k>1 (t;k \in N))$

$9=1+1+7 \rightarrow k=1$ противоречие

$9=1+2+6 \rightarrow 2 \cdot 6=12 \rightarrow$ 12 делится на 4 значит n делится на 4, так как А равен сумме первых трех делителей то тогда $А=1+2+4=7$ противоречие

$9=1+3+5$ единственный подходящий вариант

$9=1+4+4 \rightarrow k=t$ противоречие

Выразим $\dfrac{B}{n}$ как $\dfrac{\frac{n}{5}+\frac{n}{3}+n}{n}\Rightarrow \dfrac{\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+1}{1}=\dfrac{23}{15}$ так как $\frac{n}{5};\frac{n}{3};n$ будут большими делителями n

Ответ $\rightarrow$ только $\dfrac{23}{15}$ пример n=75