Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2023 год

На рисунке дана карта из шестиугольников. На каждый шестиугольник можно поставить башню, защищающий сам шестиугольник на котором он стоит и шестиугольники вокруг неё. Какое наименьшее возможное количество башен необходимо, чтобы защитить все шестиугольники на карте? Считайте что башня, поставленная на рисунке поставлена только для наглядности, чтобы показать какие шестиугольники она защищает.

Комментарий/решение

Короче, в фигуре 3*8 не менее 3 башен. Таких фигур 3 штуки и значит всего башен не менее 9. Но заметим, что для самой верхней полоски нужно как минимум 4 башенки и в итоге 10 башен и привести пример будет не сложно

В данной задаче ответ точно не 10 башен. Есть лёгкий пример для 9 башен.

Пример: https://photos.app.goo.gl/VgK7S1G4BBGfZ4PE8

Здесь то что отмечено оранжевым цветом являются башнями.

Оценка:Всего на карте 37 шестиугольников (\(1 + 6 + 12 + 18\)). Одна башня защищает максимум 7 ячеек. Пяти башен не хватит, так как \(5 \times 7 = 35 < 37\).Шести башен тоже мало: на карте есть 6 изгоев внешних углов. Чтобы защитить их все, 6 башен придется разнести по краям поля, из-за чего центральный шестиугольник останется абсолютно пустым. Любой сдвиг башни к центру оголит один из углов.

Пример:Ставим 1 башню строго в центр, а оставшиеся 6 башен — симметрично во второй слой через одну ячейку. Все 37 штучек полностью закрыты.