Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс

Бесконечная последовательность натуральных чисел $\{a_{n}\}$ удовлетворяет соотношению $a_{n+2}=a_{n} a_{n+1}+1$, для любого $n \geqslant 1$. Докажите, что для любого индекса $i$ найдется такой индекс $j > i$, что $a_{j}^{j}$ делится на $a_{i}^{i}$.