Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс

Дан многочлен $P(x)$ 699-й степени с положительными целыми коэффициентами, причем $P(1) \leqslant 2022$. Докажите, что найдутся несколько подряд идущих коэффициентов, сумма которых равна 22, 55 или 77.

Комментарий/решение

$P(1)=a_0+a_1+...+a_{699};$ $S_1=a_0<S_2=a_0+a_1<...<S_{700}=a_0+a_1+...+a_{699}$

$\left. \begin{aligned} S_1=<S_2<...<S_{700}⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀\\ S_1+22<S_2+22<...<S_{700}+22⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ \\ ⠀S_1+77<S_2+77<...<S_{700}+77\le 2099⠀\\ \end{aligned} \right\} $

Количество этих сумм $700\cdot 3=2100.$ Тогда по принципу дирихле найдутся такие $x$ и $y$ что либо $S_x+22=S_y;$ либо $S_x+77=S_y;$ либо $S_x+22=S_y+77\Longrightarrow S_y-S_x=\left\{ \begin{gathered} 22\\ 55 \\ 77 \\ \end{gathered} \right.$