25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год

Пусть $M$ — некоторое подмножество множества $\{1,2,3, \ldots, 2021\}$, состоящего из 2021 чисел, такое, что для любых трёх элементов (не обязательно различных) $a, b, c$ из $M$ имеем $|a+b-c|>10 .$ Найдите наибольшее возможное количество элементов $M .$

Комментарий/решение

Пусть $x_1, x_2, \ldots, x_n$ - выбранные числа в порядке возрастания. Рассмотрим следующие числа: $$x_1, \ldots, x_n, 2x_1-10, x_1+x_2-10, \ldots, x_1+x_n-10$$

Пусть среди них есть два одинаковых, тогда это не могут быть два числа из первой половины, и также не могут быть два числа из второй половины. Значит $x_i+x_j-x_k=10$ для каких то, возможно одинаковых, чисел $1 \leq i, j, k \leq n$ - противоречие. То есть все $2n$ чисел в этом ряду различны, но все эти числа лежат в промежутке $[x_1;x_1+x_n-10]$, то есть $2n \leq x_n-9 \leq 2012$, то есть $n \leq 1006$

Пример: $S=\{1016, 1017, \ldots, 2021\}$, тогда $a+b \geq 2032 \geq c+11, \forall a,b,c \in S$