Processing math: 7%

25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год


Для любого множества A={x1,x2,x3,x4,x5}, состоящего из пяти различных целых положительных чисел, обозначим через SA сумму его элементов, а через TA — количество троек (i,j,k) с 1, для которых x_{i}+x_{j}+x_{k} делит S_{A}. Найдите наибольшее возможное значение T_{A} .
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 9 месяца назад #

Заметим, что сумма пары x_m и x_n, не содержащая x_i,x_j и x_k, делится на x_i+x_k+x_k. Пусть x_1>x_2>x_3>x_4>x_5, рассмотрим 4 случая:

1) x_1 и x_2 входят в x_i, x_j и x_k, тогда x_a+x_b делится на x_1+x_2+x_c, где a, b, c \in (3,4,5), но x_1+x_2+x_c>x_a+x_b, противоречие

2) входит x_1, тогда x_2+x_a делится на x_1+x_b+x_c, \Rightarrow x_a=x_3, сохраним этот вариант

3) входит x_2, тогда

i) x_1+x_3 делится на x_2+x_4+x_5

ii) x_1+x_4 делится на x_2+x_3+x_5

iii) x_1+x_5 делится на x_2+x_4+x_3

4) Не входят ни x_1, ни x_2, тогда x_1+x_2 делится на x_3+x_4+x_5

Заметим, что все 5 случаев не могут выполняться одновременно, так как, иначе, из 2) и 3): iii) получаем, что x_2+x_3-x_4 делится на x_2+x_3+x_4, противоречие.

Пример для 4: x_1=494, x_2=4, x_3=3, x_4=2, x_5=1

  2
3 года 9 месяца назад #

Поучаствовал на Олимпиаде и знаешь решение, а потом кидаешь его первым. Ля ты мышь. Деее қалжын ғой. 8 сынып болып (мен оны бүгінге дейін білмедім), респадан абсолют 5 жане юниорскийден 3орын алу үшін мықты болу керек, МАЛАДЕЦ

  1
3 года 9 месяца назад #

да, рахмет, маған мында пример жетіспей қалған(( JBMO-да сасқалақтап қалдым, келесісінде, надеюсь, жақсы жазатын шығармын.

  1
3 года 9 месяца назад #

аххахаха, орнул с коммента.

ну а так да, дамир красавчик, в след году на джбмо жду золото :D

  0
2 года 10 месяца назад #

Добавлю решение в лоб.

Получается,

А = x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 делится на B = x_a+x_b+x_c.

Пусть x_1<x_2...<x_5

И

x_a<x_b<x_c.

Очевидно 10 \ge T_A

Уберем очевидные случаи

c=5

b=4

-3 случая.

c=5

b=3

-2 случая. Теперь у нас два варианты:

1)x_5 \ge x_3+x_4

2)x_5<x_3+x_4

Заметим, что оба варианта убирают по одному случаю

1)T_A=x_5+x_2+x_1

2)T_A=x_3+x_4+x_2

В обеих случаях противоречие. Спасибо Дамиру за пример для 4.

P.s. везде там применено то, что минимальный делитель числа не равный ему меньше его половины

  1
10 месяца 13 дней назад #

Вместо того чтобы долго находить пример это можно сделать быстро легко возьмем

x_1=1

x_2=3

x_3=7

x_4=9

Тогда

x_5+1:19

x_5+3:17

x_5+7:13

x_5+9:11

А по китайской теореме об остатках такой x_5 обязательно найдется