25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год
Комментарий/решение:
Заметим, что сумма пары x_m и x_n, не содержащая x_i,x_j и x_k, делится на x_i+x_k+x_k. Пусть x_1>x_2>x_3>x_4>x_5, рассмотрим 4 случая:
1) x_1 и x_2 входят в x_i, x_j и x_k, тогда x_a+x_b делится на x_1+x_2+x_c, где a, b, c \in (3,4,5), но x_1+x_2+x_c>x_a+x_b, противоречие
2) входит x_1, тогда x_2+x_a делится на x_1+x_b+x_c, \Rightarrow x_a=x_3, сохраним этот вариант
3) входит x_2, тогда
i) x_1+x_3 делится на x_2+x_4+x_5
ii) x_1+x_4 делится на x_2+x_3+x_5
iii) x_1+x_5 делится на x_2+x_4+x_3
4) Не входят ни x_1, ни x_2, тогда x_1+x_2 делится на x_3+x_4+x_5
Заметим, что все 5 случаев не могут выполняться одновременно, так как, иначе, из 2) и 3): iii) получаем, что x_2+x_3-x_4 делится на x_2+x_3+x_4, противоречие.
Пример для 4: x_1=494, x_2=4, x_3=3, x_4=2, x_5=1
Добавлю решение в лоб.
Получается,
А = x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 делится на B = x_a+x_b+x_c.
Пусть x_1<x_2...<x_5
И
x_a<x_b<x_c.
Очевидно 10 \ge T_A
Уберем очевидные случаи
c=5
b=4
-3 случая.
c=5
b=3
-2 случая. Теперь у нас два варианты:
1)x_5 \ge x_3+x_4
2)x_5<x_3+x_4
Заметим, что оба варианта убирают по одному случаю
1)T_A=x_5+x_2+x_1
2)T_A=x_3+x_4+x_2
В обеих случаях противоречие. Спасибо Дамиру за пример для 4.
P.s. везде там применено то, что минимальный делитель числа не равный ему меньше его половины
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.