25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год

Пусть $n$ $(n \geq 1)$ — целое число. Рассматривается уравнение $2 \cdot\left[\frac{1}{2 x}\right]-n+1=(n+1)(1-n x),$ где $x$ — неизвестная действительная переменная.
   (a) Решите уравнение при $n=8$.
   (b) Покажите, что существует целое число $n$, для которого уравнение имеет не меньше, чем 2021 решений.
   (Для любого действительного числа $y$ через $[y]$ обозначается наибольшее целое число $m$ такое, что $m \leq y .)$

Комментарий/решение

$a)$ При $n=8$ получаем, что $36x+[\dfrac{1}{2x}]=8$, то есть $36х$ - целое, причем $36x<8, x>0$. Дальше рассматриваем $x$ как дробь $\dfrac{p}{q}$, где $(p,q)=1$, тогда $36$ делится на $q$. Разбирая случаи $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ находим ответы $x=\dfrac{1}{9}, \dfrac{5}{36}.$

$b) x(n^2+n)+2[\dfrac{1}{2x}]=2n,$ пусть $[\dfrac{1}{2x}]=m$, тогда $x(n^2+n)=2n-2m, \rightarrow [\dfrac{n^2+n}{4n-4m}]=m$. Достаточно найти такое n так, что данное уравнение имеет хотя бы $2021$ решений в $m$. Для этого должно выполняться:

$1) \dfrac{n^2+n-4mn+4m^2}{4n-4m}=\dfrac{(n-2m)^2+n}{4n-4m} \geq 0$, что верно

$2) m+1>\dfrac{n^2+n}{4n-4m}$, то есть $(2m+1-n)^2<n+1$,$$ -\sqrt{n+1}<2m+1-n<\sqrt{n+1},$$

$$(n-1-\sqrt{n+1})/2<m<(n+\sqrt{n+1}-1)/2.$$ Если взять $n=2023^2-1$ то m лежит на отрезке $(n/2-1012; n/2+1011)$, значит $m$ имеет хотя бы $2021$ решений, что и требовалось доказать.