Processing math: 100%

25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год


Пусть n (n1) — целое число. Рассматривается уравнение 2[12x]n+1=(n+1)(1nx), где x — неизвестная действительная переменная.
   (a) Решите уравнение при n=8.
   (b) Покажите, что существует целое число n, для которого уравнение имеет не меньше, чем 2021 решений.
   (Для любого действительного числа y через [y] обозначается наибольшее целое число m такое, что my.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 9 месяца назад #

a) При n=8 получаем, что 36x+[12x]=8, то есть 36х - целое, причем 36x<8,x>0. Дальше рассматриваем x как дробь pq, где (p,q)=1, тогда 36 делится на q. Разбирая случаи 1,2,3,4,6,9,12,18,36 находим ответы x=19,536.

b)x(n2+n)+2[12x]=2n, пусть [12x]=m, тогда x(n2+n)=2n2m,[n2+n4n4m]=m. Достаточно найти такое n так, что данное уравнение имеет хотя бы 2021 решений в m. Для этого должно выполняться:

1)n2+n4mn+4m24n4m=(n2m)2+n4n4m0, что верно

2)m+1>n2+n4n4m, то есть (2m+1n)2<n+1,n+1<2m+1n<n+1,

(n1n+1)/2<m<(n+n+11)/2. Если взять n=202321 то m лежит на отрезке (n/21012;n/2+1011), значит m имеет хотя бы 2021 решений, что и требовалось доказать.

пред. Правка 2   0
2 года назад #