25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год
Пусть n (n≥1) — целое число. Рассматривается уравнение
2⋅[12x]−n+1=(n+1)(1−nx),
где x — неизвестная действительная переменная.
(a) Решите уравнение при n=8.
(b) Покажите, что существует целое число n, для которого уравнение имеет не меньше, чем 2021 решений.
(Для любого действительного числа y через [y] обозначается наибольшее целое число m такое, что m≤y.)
посмотреть в олимпиаде
(a) Решите уравнение при n=8.
(b) Покажите, что существует целое число n, для которого уравнение имеет не меньше, чем 2021 решений.
(Для любого действительного числа y через [y] обозначается наибольшее целое число m такое, что m≤y.)
Комментарий/решение:
a) При n=8 получаем, что 36x+[12x]=8, то есть 36х - целое, причем 36x<8,x>0. Дальше рассматриваем x как дробь pq, где (p,q)=1, тогда 36 делится на q. Разбирая случаи 1,2,3,4,6,9,12,18,36 находим ответы x=19,536.
b)x(n2+n)+2[12x]=2n, пусть [12x]=m, тогда x(n2+n)=2n−2m,→[n2+n4n−4m]=m. Достаточно найти такое n так, что данное уравнение имеет хотя бы 2021 решений в m. Для этого должно выполняться:
1)n2+n−4mn+4m24n−4m=(n−2m)2+n4n−4m≥0, что верно
2)m+1>n2+n4n−4m, то есть (2m+1−n)2<n+1,−√n+1<2m+1−n<√n+1,
(n−1−√n+1)/2<m<(n+√n+1−1)/2. Если взять n=20232−1 то m лежит на отрезке (n/2−1012;n/2+1011), значит m имеет хотя бы 2021 решений, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.