Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 11 класс

Найдите все тройки $(x,y,z)$ натуральных чисел, для которых найдётся такое натуральное число $n,$ что $x!+y!+z!=2^n.$

Комментарий/решение

1) Рассмотрим случай $x \ge 3;y\ge 3;z\ge 3$

$$x! \equiv 0 (\mod 3);y! \equiv 0 (\mod 3);z! \equiv 0 (\mod 3);\rightarrow x!+y!+z!\equiv 0 (\mod 3)$$

Верхняя строчка верна потому, что при $x=2+t,t\in N, x!=1\cdot 2 \cdot 3\cdot \dots$. В разложение на множители есть $3$, значит и остаток при делении на $3$ будет $0$

$$2^n \neq 0 (\mod 3)$$

Отсюда вывод: одновременно не может быть выполнено $x \ge 3;y\ge 3;z\ge 3$. Хотя бы одна переменная примет значения $1$ или $2$

2) Рассмотрим случай $x \le 2;y\le 2;z\le 2$

Тут перебор допустим, так как вариантов не много, и их реально без калькуляторов и мат пакетов посчитать. Получили решение

$$(x,y,z,n):(1,1,2,2);(1,2,1,2);(2,1,1,2)$$

Других корней в данном диапазоне нет

3)Пусть одна переменная примет значение 1, остальные же будут не меньше 3. Так как уравнение допускает замену $x,y,z$ между собой, для определенности примем $x=1$

$$1+y!+z! = 2^n$$

Так как $y \ge 3 , z \ge 3$, то $;y! \equiv 0 (\mod 2);z! \equiv 0 (\mod 2);$

Тогда

$$1+y!+z! \equiv 1 (\mod 2); 2^n \equiv 0 (\mod 2)$$

Противоречие, значит, нет корней вида

$${x=1;y\ge 3;z\ge 3};{x\ge 3;y=1;z\ge 3};{x\ge 3;y\ge 3;z=1}$$

4) Последний возможный вариант: Пусть одна переменная примет значение 2, остальные же будут не меньше 3.Для определенности примем $x=2$

$$2+y!+z! = 2^n$$

Разделим на 2 равенство

$$1+\dfrac{y!+z! }{2}= 2^{n-1}$$

Если $y>3$ и $z>3$ получаем нечетную левую часть, четную правую часть

Противоречие, значит, нет корней вида

$${x=2;y> 3;z> 3};{x> 3;y=2;z> 3};{x> 3;y>3;z=2}$$

5) Особо рассмотрим случай $y=3;z>3$ или $z=3;y>3$ . Тут я не знаю как показать, что корней нет. Возможно, более опытные пользователи сайта дадут идею

Данная задача ранее была дана на Областной олимпиаде, 2016 год, 9 класс.