Processing math: 13%

Математикадан аудандық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 11 сынып


x!+y!+z!=2n теңдігі дұрыс болатын n натурал саны табылатындай барлық (x,y,z) натурал сандар үштігін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
4 года 2 месяца назад #

  3
4 года 2 месяца назад #

1) Рассмотрим случай x3;y3;z3

x! \equiv 0 (\mod 3);y! \equiv 0 (\mod 3);z! \equiv 0 (\mod 3);\rightarrow x!+y!+z!\equiv 0 (\mod 3)

Верхняя строчка верна потому, что при x=2+t,t\in N, x!=1\cdot 2 \cdot 3\cdot \dots. В разложение на множители есть 3, значит и остаток при делении на 3 будет 0

2^n \neq 0 (\mod 3)

Отсюда вывод: одновременно не может быть выполнено x \ge 3;y\ge 3;z\ge 3. Хотя бы одна переменная примет значения 1 или 2

2) Рассмотрим случай x \le 2;y\le 2;z\le 2

Тут перебор допустим, так как вариантов не много, и их реально без калькуляторов и мат пакетов посчитать. Получили решение

(x,y,z,n):(1,1,2,2);(1,2,1,2);(2,1,1,2)

Других корней в данном диапазоне нет

3)Пусть одна переменная примет значение 1, остальные же будут не меньше 3. Так как уравнение допускает замену x,y,z между собой, для определенности примем x=1

1+y!+z! = 2^n

Так как y \ge 3 , z \ge 3, то ;y! \equiv 0 (\mod 2);z! \equiv 0 (\mod 2);

Тогда

1+y!+z! \equiv 1 (\mod 2); 2^n \equiv 0 (\mod 2)

Противоречие, значит, нет корней вида

{x=1;y\ge 3;z\ge 3};{x\ge 3;y=1;z\ge 3};{x\ge 3;y\ge 3;z=1}

4) Последний возможный вариант: Пусть одна переменная примет значение 2, остальные же будут не меньше 3.Для определенности примем x=2

2+y!+z! = 2^n

Разделим на 2 равенство

1+\dfrac{y!+z! }{2}= 2^{n-1}

Если y>3 и z>3 получаем нечетную левую часть, четную правую часть

Противоречие, значит, нет корней вида

{x=2;y> 3;z> 3};{x> 3;y=2;z> 3};{x> 3;y>3;z=2}

5) Особо рассмотрим случай y=3;z>3 или z=3;y>3 . Тут я не знаю как показать, что корней нет. Возможно, более опытные пользователи сайта дадут идею

  3
4 года 2 месяца назад #

Данная задача ранее была дана на Областной олимпиаде, 2016 год, 9 класс.