Международная олимпиада 2020, Санкт-Петербург, Россия, 2020 год

Имеется $n > 1$ карточек, на каждой из которых написано целое положительное число. Оказалось, что для любых двух карточек среднее арифметическое написанных на них чисел равно среднему геометрическому чисел, написанных на карточках некоторого набора, состоящего из одной или более карточек. При каких $n$ из этого следует, что все числа, написанные на карточках, равны?

Комментарий/решение

Ответ: при всех $n>1.$

Допустим существует $n$ такое, что не все числа на карточках равны.

Обозначим числа на них $a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_n.$ Б.О.О. примем, что $(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1.$

$i)$ Если $a_1=1,$ то $a_i=1,\forall i=1,\ldots,n.$

$ii)$ Если $a_1>1,$ то существует $p\in\mathbb P,$ что $p\mid a_1.$ Тогда $\exists i,$ что $p\nmid a_i.$ Будем считать, что $a_i$ наибольшее такое число. Из условия получаем, что

$$\dfrac{a_1+a_i}{2}=\sqrt[m]{c_1\ldots c_m},$$

где $\{c_1,\ldots,c_m\}\subset \{a_2,...,a_n\}.$ Легко понять, что $p\nmid c_1,\ldots,c_m\implies a_i\ge c_1,\ldots,c_n,$

$$\implies \dfrac{a_1+a_i}{2}=\sqrt[m]{c_1\ldots c_m}\le a_i\implies a_1\le a_i\le a_1,$$

тогда $a_1=a_i,$ что противоречит предположению.

Положим что существует $n$ что не все числа $S=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ равны, так как $AM \geq GM$ равенство выполняется при $a_{1}=a_{2}=...=a_{n} $.

Будем рассматривать не последний случай $a_{1} \geq a_{2} \geq ...\geq a_{n}>0$ $(1)$ тогда по неравенству между средними должно существовать решения системы неравенство с условием $(1)$ (необязательно упорядоченные в таком порядке).

Пусть $AM_{t}$ средне арифм некоторого набора $t$ чисел, тогда

$AM_{t}>\dfrac{a_{x}+a_{y}}{2}$ где $a_{x},a_{y}$ числа из $S$

Так как существует $n!$ способов перестановок в $(1)$ для каждой перестановки есть наибольшие $a_{x} \geq a_{y} \geq ... \geq a_{k}$ и так как берется любые две арифметические средние, то получим в каком то из неравенств, а именно для

$AM_{t}>\dfrac{a_{x}+a_{y}}{2}$ или $2A_{t}>t(a_{x}+a_{y})$ но $a_{x},a_{y}$ наибольшие среди всех в $A_{t}$ слагаемых, то есть $t(a_{x}+a_{y}) \geq 2A_{t} > t(a_{x}+a_{y})$ противоречие, значит ответ для $n>1$.