9-я Жаутыковская олимпиада (2013), теоретический тур

Модель атома водорода по Бору (10 баллов)
Рассмотрим атом водорода, который состоит из протона, массу которого можно считать практически бесконечной, и электрона массой $m_{e}=9,11\times 10^{-31}$ кг. При этом протон имеет положительный заряд $e=1,61\times 10^{-19}$ Кл, а электрон — отрицательный заряд $-e$, так что в целом атом нейтрален.
1. [2.0 балла] Известно, что большинство атомов стабильно и могут существовать продолжительное время. Это значит, что электрон не может находиться в состоянии покоя, иначе под действием силы притяжения он неминуемо упал бы на протон. Пусть расстояние между электроном и протоном равно $r_0=5\times 10^{-11}$ м. Считая применимыми законы классической физики, найдите время падения $t_1$ первоначально покоящегося электрона на протон. Значит, для стабильности атома электрон должен двигаться вокруг протона так же, как планеты вращаются вокруг Солнца. Пусть орбита электрона круговая и законы классической физики по-прежнему применимы.
2. [1.0 балла] Найдите скорость движения электрона $v$ в зависимости от радиуса орбиты $r$;
3. [0.5 балла] Найдите момент импульса движения электрона $L$ в зависимости от радиуса орбиты $r$; Датский физик Нильс Бор выдвинул постулат о том, что момент импульса электрона равен целому числу постоянных Планка $\hbar=1,05\times10^{-34}$ Дж$\cdot$с, то есть $L=n\hbar$, где $n=1,2,3...$ — главное квантовое число.
4. [0.5 балла] Найдите возможные радиусы орбит электрона $r_{n}$ в атоме водорода;
5. [0.5 балла] Рассчитайте численное значение минимального радиуса орбиты электрона $r_1$ в атоме водорода;
6. [1.0 балла] Найдите возможные значения полной энергии электрона $E_{n}$ в атоме водорода;
7. [0.5 балла] Рассчитайте численное значение минимального значения полной энергии электрона $E_1$ в атоме водорода. Согласно классической электродинамике, если электрон движется с ускорением, то он теряет свою энергию на электромагнитное излучение. При этом мощность излучения определяется выражением $$P=\frac{1}{6 \pi \epsilon_0}\cdot \frac{e^2a^2}{c^3},$$ где $a$ — ускорение электрона,$\epsilon_0=8,85\times 10^{-12}$ Ф/м — электрическая постоянная, $c=3\times 10^8$ м/c — скорость света в вакууме. Электромагнитное излучение привело бы к тому, что в модели Бора электрон падал бы на протон. В дальнейшем считайте, что траектория электрона практически круговая.
8. [1.5 балла] Считая, что в момент времени $t=0$ электрон находится на орбите радиусом $r_1$, найдите зависимость радиуса траектории от времени $t$.
9. [0.5 балла] Найдите и вычислите время падения электрона $\tau_1$ с орбиты радиусом $r_1$ на протон.
10. [2.0 балла] Сколько оборотов успевает сделать электрон вокруг протона за время падения $\tau_1$?