8-я Жаутыковская олимпиада (2012), теоретический тур

Приключения поршня (10 баллов)

В открытом цилиндрическом сосуде высотой $H=30$ см и площадью поперечного сечения $S=50$ см$^2$ находится атмосферный воздух при нормальных условиях, то есть при атмосферном давлении $p_0=1.01\times 10^5$ Па и температуре $T_0=273$ К. В сосуд осторожно вставляется сверху тонкий тяжелый поршень массы $M=50$ кг. Стенки сосуда и поршень изготовлены из материала, который очень плохо проводит тепло. Считайте, что воздух представляет собой идеальный двухатомный газ со средней молярной массой $\mu=29$ г/моль, ускорение свободного падения равно $g=9,8$ м/с$^2$, а универсальная газовая постоянная равна $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К). Теплоемкостью поршня и сосуда, а также трением поршня о стенки полностью пренебрегайте. Поршень освобождают. Процесс перехода к окончательному равновесию осуществляется в две стадии. На первой стадии поршень совершает колебания. При этом газовые процессы нельзя считать равновесными. Вследствие неравновесности колебания поршня являются затухающими, т.е. механическая энергия рассеивается (диссипирует). Считайте, что половина рассеянной энергии передается газу в сосуде, а половина — в атмосферу. На этой стадии также можно пренебречь теплопроводностью сосуда и поршня. После прекращения колебаний поршень останавливается на некоторой высоте $H_1$. Вторая стадия является медленной — в течение некоторого большого промежутка времени поршень перемещается и окончательно останавливается на высоте $H_2$.
2.1 [0.5 балла] Чему равно давление воздуха $p_1$ в сосуде в конце первой стадии? Ответ выразите через атмосферное давление $p_0$, показатель адиабаты $\gamma$ и параметр $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $p_1$.
2.2 [1.5 балла] Чему равна температура воздуха $T_1$ в конце первой стадии? Ответ выразите через $T_0$, $\gamma$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $T_1$.
2.3 [0.5 балла] Найдите высоту $H_1$. Ответ выразите через $H$, $\gamma$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $H_1$.
2.4 [0.5 балла] Чему равно давление воздуха $p_2$ в сосуде в конце второй стадии? Ответ выразите через $p_0$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $p_2$.
2.5 [0.5 балла] Чему равна температура воздуха $T_2$ в конце второй стадии?
2.6 [0.5 балла] Найдите высоту $H_2$. Ответ выразите через $H$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $H_2$.
2.7 [2 балла] Найдите частоту $\omega$ малых колебаний поршня около положения равновесия $H_2$, считая процесс квазистатическим и адиабатическим. Ответ выразите через $g$, $H$, $\gamma$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $\omega$. По окончании второй стадии в дне сосуда проделали множество отверстий суммарной площадью $S_{O}=5\times 10^{-4}$ см$^2$, при этом размер каждого отверстия много меньше длины свободного пробега молекул. Спустя некоторое время поршень начинает двигаться с некоторой постоянной скоростью $u$.
Известно, что среднее число молекул $\overline{N}$, попадающих на единицу площади поверхности в единицу времени равно $$\overline{N}=\frac{1}{4}n\overline{\vartheta},\quad (1)$$ где $\overline{\vartheta}=\sqrt{8RT/\pi\mu}$ — так называемая средняя тепловая скорость молекул, а $n$ — их концентрация. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, попадающих в отверстия, равна $$\overline{W}=2k_{B}T, \quad (2)$$ где $k_{B}$ — постоянная Больцмана. Считая поток тепла через стенки и поршень пренебрежимо малым, ответьте на сле-дующие вопросы:
2.8 [1 балл] Установившееся давление воздуха под поршнем имеет вид $p_3=Af(\alpha)$, где $A$ — некоторая постоянная, зависящая от $p_0$, а $f(\alpha)$ — некоторая функция от $\alpha$. Найдите $A$ и $f(\alpha)$. Найдите численное значение $p_3$.
2.9 [2 балла] Установившаяся скорость поршня имеет вид $u=Bg(\alpha)$, где $B$ — некоторая постоянная, зависящая от $S_0$, $S$, $R$, $T_0$ и $\mu$, а $g(\alpha)$ — некоторая функция от $\alpha$. Найдите $B$ и $g(\alpha)$. Найдите численное значение $u$.
2.10 [1 балл] Установившаяся температура газа под поршнем имеет вид $T_3=Ch(\alpha)$, где $C$ — некоторая постоянная, зависящая от $T_0$, а $h(\alpha)$ — некоторая функция от $\alpha$. Найдите $C$ и $h(\alpha)$. Найдите численное значение $T_3$.