Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Прямая $AB$ разбивается на отрезок $AB$ и лучи $a$ и $b$ с началами $A$ и $B$ соответственно. Луч $r$ симметричен $a$ относительно биссектрисы угла $CAD$; луч $s$ симметричен $b$ относительно биссектрисы угла $CBD$. Оказалось, что точки $O$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, а точка $P$ пересечения лучей $r$ и $s$ — по другую. Докажите, что $OP$ и $CD$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

Пусть $H$ середина $CD$ и $G,\ J$ точка пересечения окружности с $OH$ где $G$ ближе к $CD$, тогда биссектрисы $\angle DAC, \ \angle CBD$ пересекаются в точке $G$.

1)Пусть луч симметричный $a$ относително $AG$ пересекает $GJ$ в точке $X$. Так как $GJ$-диаметр, то $\angle GAJ=90^{\circ}$ и $\angle BAJ=90^{\circ} - \angle BAG$ и так как луч $AG$ делит угол между прямыми $a$ и $AX$ пополам, то $AJ$ биссектриса $\angle BAX$ или $\angle BAJ = \angle JAX$.

2)Пусть точка $Y$ на окружности такая, что $AY \perp GJ$ и $L \in GJ \cap AY$ тогда $AL=LY$ и $AXY$-равнобедренный. $\angle AXJ = 180^{\circ}-\angle JAX - \angle AJX = 180^{\circ}-\angle JAX - (90^{\circ}+\angle AGJ)=90^{\circ}-\angle JAX- \angle AGJ=90^{\circ}-\angle JAB-\angle AGJ=90^{\circ}-\angle BGJ-\angle AGJ$

3) Значит $\angle YXL=\angle AXL=\angle AXJ=90^{\circ}-\angle BGJ-\angle AGJ$ откуда $\angle XYA=\angle XAY=\angle 90^{\circ}-\angle YXL=\angle BGJ+\angle AGJ$, но $\angle AYB=180^{\circ}-\angle AGB=180^{\circ}-(\angle AGJ+\angle BGJ)$ значит $Y$ лежит на $BX$ откуда $\angle YBJ=\angle AGJ$ так как $AJ=JY$ с другой стороны $\angle JBA=\angle AGJ$ значит $BJ$ биссектриса $\angle ABX$ и точка $X$ и $P$ совпадают. Откуда $OP \perp CD$.

Пусть $M$ - середина дуги $CD$ без $A$, N - середина дуги $CAD$, $K$ - точка симметричная $P$ относительно биссектрисы угла $\angle CAD$ (т.е. $AM$), и по условию также лежащая на $a$, $L$ - точка симметричная $P$ относительно биссектрисы угла $\angle CBD$ ($BM$), также лежащая на $b$, $E$ - середина $PK$, $F$ - середина $PL$.

Здесь $MN\bot CD$, тогда с учетом $O\in MN$, для доказательства $OP\bot CD$, достаточно доказать коллинеарность точек $M, N, P$.

По построению, углы $\angle PEM, \angle NAM, \angle PFM, \angle NBM$ прямые, $EF$ - средняя линия $\triangle KPL$, из чего следует $AN \parallel PE, BN \parallel PF, EF \parallel AB$. Таким образом, треугольники $ANB$ и $EPF$ гомотетичны с центром гомотетий в точке $AE\cap PN\cap BF=M$, следовательно, точки $M, N, P$ коллинеарны (гомотетия с центром $M$ переводит $N$ в $P$).

Утверждение 1:

Четырехугольник $APBO-$ вписанный

Утверждение 2:

$M$ центр вневписанной окружности $\triangle ABP$ где $M$ середина меньшей дуги $CD$

Использую первое утверждение так как $OB=OA$ то $PO$ биссектриса угла $\angle APB$ используя второе утверждение $PM$ биссектриса угла $\angle APB$ значит $P , O ,M$ лежат на одной прямой, заметим что $OM$ перпендикулярно прямой $CD.$